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第一章 实数的概念、性质和运算 一、实数及其运算 整数还有以下分类： 1、自然数 我们把叫做自然数，自然数的集合用字母 表示，即，自然数也叫非负整数，除0以外的自然数叫做正整数。自然数具有下面的性质： （1）自然数的后继数（的后面与它相邻的数）是 （2）两个自然数的和、差的绝对值以及它们的积都是自然数。 2、奇数与偶数 当自然数被自然数除，所得商仍是一个自然数时，我们就说自然数能被自然数整除，此时称是的倍数；是的约数。 能被2整除的自然数都是偶数；不能被2整除的自然数都是奇数。偶数都可以表示成为整数）的形式；奇数都可以表示成为整数）的形式。 3、素数与和数 若一个正整数只有1和它本身两个约数，则称这个正整数为素数（或质数）。若一个正整数有除1和自身以外的约数，则称这个正整数为合数。正整数可以分为3类：自然数1，素 数与合数。2是最小的素数，除2以外的素数都是奇数。 大于1的任意自然数都可以表示成若干个素因数连乘积的形式，如：，我们把这个分解得的算式（如）叫做该自然数的素因数分解式。对于给定的大于1的自然数，它的素因数分解式是唯一的。 4、公约数和公倍数 （1）公约数 设是个正整数，若是它们中每一个数的约数，则称为这个整数的公约数（或公因数）。个正整数的公约数中最大的一个，叫做这个正整数的最大公约数。若个正整数的最大公约数是1，则称这个正整数互质。 （2）公倍数 设是个正整数，若是它们中每一个数的倍数，则称为这个正整数的公倍数。个正整数的公倍数中最小的一个，叫做这个正整数的最小公倍数。 5、数的整除 （1）如果a,b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除。 （2）如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。 （3）如果能整除b，b能整除，那么能整除。 （4）如果b与都能整除，且b与互质，那么b与的乘积能整除。 （5）零能被任意非零自然数整除； （6）能被2整除的数个位数字是； （7）各位数字之和能被3（或9）整除的数必能被3（或9）整除； （8）末两位数能被4整除的数必能被4整除； （9）末位数是0或5的数能被5整除； （10）两个相邻自然数中，必有一个是偶数，另一个是奇数； 6、循环小数转化成分数的方法 记循环小数 7、有理数和无理数之间的运算规律 有理数无理数=无理数 非零有理数无理数=无理数 非零有理数无理数=无理数 无理数非零有理数 =无理数 二、绝对值、平均值 一）绝对值 1．绝对值的定义： 2．几何意义：实数的绝对值就是数轴上与对应的点到原点的距离。 3．绝对值的主要性质： 1） 2） 3） 4） 5） 6） 4．非负数 （1） （2） （3）若有意义，则且 二）绝对值方程与不等式 1、两类主要绝对值函数 1）、f(x)= |x-a|+|x-b | 解题思路：1）主要考虑f(x)的最小值，其最小值是|b-a|； 2）当时取到最小值； 3）图像特点：中间平，两头翘。 2）、f(x)= |x-a|-|x-b | 解题思路：1）主要考虑的最大值和最小值，其最大值是，最小值是； 2）图像特点：两头平，中间斜。 2、绝对值方程问题 解题思路： 1）方程有解，等价于 2）方程无解，等价于 3）方程有解，等价于 4）方程无解，等价于 或 3、绝对值不等式恒成立问题 解题思路：1）若不等式f (x)A在区间上恒成立，则等价于在区间上； 2）若不等式f (x)B在区间上恒成立，则等价于在区间上f (x)maxB。 4、绝对值不等式能成立问题（有解；解集非空） 解题思路： 1）在区间上存在实数使不等式成立，则等价于在区间上 2）在区间上存在实数使不等式成立，则等价于在区间上 5、不等式无解问题 解题思路： 在区间上存在实数使不等式无解，则等价于在区间上； 在区间上存在实数使不等式无解，则等价于在区间上 6、绝对值不等式的解法 1）、基本解法 或（），若a0则解集为R； （），若 时，则解集为Φ； 注意变形： 注意变形： 或 2）形如或的方程或不等式 解题思路：利用，将化成 三）、平均值 1．算术平均值： ，记为： 2.几何平均值： 3．算术平均值与几何平均值的关系 第二章 整式和分式 一、熟记一些乘法公式： 二、整式的除法运算 多项式除以多项式，商式是，余式是，则 若，则称能被整除，此时，称和均为的因式。 三、余式定理和因式定理 余式定理 如果除以 一次因式所得的余式一定是。 因式定理 如果含有因式，即被整除的充要条件是。 注意：当除以一个一次因式时，用一次余式定理或因式定理即可；当除以一个二次因式时，一般将分解成两个一次因式相乘，再利用两次余式定理或因式定理即可。 第三