N74.拋物型方程解的收敛性判断.doc

汪宸、于浩成、黎静北 天津南开中学，中国 指导教师：程斌 抛物型方程解的收敛性判断 摘要 抛物型方程是一种在传热学中广泛使用的方程，它可以用来求解各类非稳态（即参数随时间变化的物理过程）热传导问题，但其求解过程相对复杂。而数值解法是随计算机技术发展而日趋成熟的一种新的数学求解方法，由于具有费用较低、可模拟复杂条件下的数学物理问题等特点，正受到广泛的重视。本文对传热学中非稳态温度分布的控制方程的数值求解原理与方法进行了分析，从物理原理和数学分析两方面对其数值解的收敛性判断问题进行了分析，验证了数值计算方法中解的收敛性判据的合理性。 亮点 数值计算方法是科学研究中采用的一种方法，可以解决许多无法获得解析解的数学物理问题，也可以对许多无法人工实现特殊条件下的问题进行模拟。但与任何一种方法一样，数值计算方法不是万能的，也要受到各种条件的制约。如何判断数值解的真实性与确定性是数值方法在应用中需解决的关键问题。本选题对传热学中的非稳态导热方程数值解的收敛性进行了分析，从物理原理与数学分析出发分析了其一致性。采用误差放大的方法判断数值解的收敛性，方法简单，具有一定的新意。技术报告 引言 传热学是一门研究热量传递过程中传递规律的学科，在自然界、工程界有着十分广阔的应用背景。存在于固体当中的热传导热现象中，有一类问题是温度场随时间变化的热传导问题，即所谓的非稳态导热问题。一般而言，对简单非稳态导热问题可采用数学方法获得其解析解。而对复杂的非稳态问题，则可以采用数值计算的方法得到数值解，以下就非稳态导热问题的解析解和数值解进行分析。 二、非稳态导热的数值解 为解决解析解的局限性问题，在许多场合，往往使用数值解。所谓数值解，就是用离散的数值代替某一连续物理量的解，一般对所分析对象在空间和时间上进行分割，将分析对象离散成许多空间节点，并按一定的时间间隔向前推进。对于一维非稳态导热问题，其控制方程可表示如下： ， 采用向前差分格式，即用p+1时刻的温度值与p时刻温度之差计算温度随时间的变化率，则可表示为： 采用中心差分格式，则温度的二阶偏导数可表示： 对某个节点，其节点方程可表示为： 。 通过此式，可以由当前时刻的值求出下一时刻的值，进而沿时间分割逐时计算出分析对象在不同时刻的温度分布，这种方法称为显示格式。 类似地，如温度对时间的一阶偏导数采用向后差分格式，即用当前时刻温度与后一时刻温度差计算。 （p+1时刻） 采用中心差分格式： 节点方程可表示为： ，其中，即某一节点的温度值与该节点周围的温度值有关，并不能单纯有该节点的当前温度值推算出该节点在下一时刻的温度值，这种方法又称为隐式格式。 如果对空间变量的偏导数采用显示格式和隐式格式的平均值表示，则节点方程可表示为： ，也可表示为： ， 此格式称为Crank-Nicolson 格式，对时间的差分格式相当于在时刻的中心差分，精度高于向前或向后差分格式。 三、 数值解法中差分格式的稳定性 如果某时刻的解（温度值）可表示为：，其中：为精确解，而为误差分布，假定误差分布函数可表示为级数形式： 则在节点I,i+1,i-1处的误差可表示为： 误差放大倍数可表示为： ，采用向前差分格式，误差可表示为： 则误差放大 ，误差未被放大，可认为结果收敛。 于是有： 对于隐式向前差分格式，其误差放大为： ，对于任何，成立。 对于Crank-Nicolson 格式，则有： ，显然对于任何的，均成立。 从非稳态导热的物理概念也可得到类似的结论，以一维问题为例，内节点方程可表示为： 节点在p+1时刻的温度可看做是节点在p时刻温度的加权平均，要使非稳态导热过程有意义，三个节点的温度前面的系数（即权重）都不应小于零。从热力学第二定律的角度出发，可以理解，各节点相互之间的影响因子都应大于零，显然，对上式应有：。 对于边界节点的显示差分方程： ，与数值分析结果一致。 四、结论 本文对抛物性方程解的收敛性进行了分析，从数学分析与物理机理两方面对其解的收敛性进行了分析，得出以下结论： 显式格式中，各物理量前加权系数的数值应当大于零。 隐式格式是无条件收敛的。 数学分析得出的结论与过程的物理原理相一致。 参考文献 南京大学数学系编，偏微分方程数值解法.北京：科学出版社，1979 孔祥谦编著.有限单元法在传热学中的应用.第二版.北京：科学出版社，1996