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专题四 关于中值定理证明中辅助函数的构造 构造函数法的内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想.使用构造法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了. 在教学中，不失时机地加强对学生的构造性思维的训练，对培养学生的创新意识、创新能力大有裨益.同时构造性思维的形成是培养创造性思维能力的一种途径.它是在数学教学中用数、形结合，沟通问题条件与结论，构造出数学模型，从而达到解决问题目的的一种解题数学法.这种方法要求综合应用各种知识，把各科知识有机结合，根据问题的条件、结论、性质及特征，横向联系，纵向渗透，构造出辅助图形或辅助关系式、使问题思路清晰，解法巧妙.有一些数学问题在常规下束手无策，而构造法使问题得到别开生面、简洁而新颖的解法. 数学中的许多问题，往往可以通过构造辅助函数，利用间接方法得到解决.这一方法应用的广泛性，在于其灵活性. 例如，证明拉格朗日定理时，通常都是采用引入一个辅助函数，把适合拉格朗日定理的函数转换成适合罗尔定理的函数的方法.在这里，辅助函数是使问题转化的桥梁. 构造辅助问题，并非是为了它本身，而是要通过辅助问题帮助我们解决原来的问题.那个原来的问题才是我们要达到的目标，而辅助问题只是我们试图达到的手段，是原来问题转化的桥梁.针对所要解决的问题构造一个辅助问题，则原来问题的求解或证明，就转化为对一个函数的性质的研究，可以运用函数的定义域、值域、单调性、最大最小值、连续和微分积分等性质来帮助解决，运算过程就比较简单了. 微分中值定理是沟通函数及导数之间的桥梁，是研究函数性质的有力工具.而各种辅助函数又往往有所不同，这些辅助函数之间有没有内在的联系呢？引入这些辅助函数有没有一般规律呢？为解答上面的问题，给出辅助函数的一般表达式： F（x）=(x)— 此式可以作为证明拉格朗日中值定理所引用的辅助函数，其中c为任意常.容易验证,当(x)满足拉格朗日中值定理的条件时，相应的F（x）满足罗尔定理的条件.由于它们都含有任意的常数c ，所以具有某种一般性，是辅助函数的最简单的一种形式.每给出一个c的具体的辅助函数，对应一个具体的证法.不难看出将F（x）与某些函数复合所得的函数，也可以作为辅助函数. 问题1：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的内容是什么？有什么样的几何意义？ 答：罗尔中值定理的内容如下： 设函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续； （2）在开区间上可微；（3）； 则在内至少存在一点，使得=0. 注：罗尔定理一般是作为拉格朗日中值定理和柯西中值 定理证明的预备定理，故若对其加强仔细分析、证明，也 可以加以对拉格朗日中值定理的理解和应用. 罗尔中值定理的几何意义指：在两个高度相同的点A、B之间的一段连续曲线上，若除端点外，它在每一点都有不垂直于轴的切线，则该曲线至少存在一点，过该点的切线平行于轴（过两端点A、B的弦）. 拉格朗日中值定理的内容如下： 设函数满足如下条件： （1）在闭区间上连续；（2）在开区间上可微； 则在内至少存在一点，使得=. 拉格朗日中值定理的几何意义是：若曲线在 内每一点都有不平行于轴的切线，则在该曲线上至少存在一点 (， () ), 使曲线在该点的切线平行于过曲线两端点A、B的弦. 注：对于拉格朗日中值定理与罗尔定理仅相差在区间端点的函数值相等（即）这一条件.因此，证明拉格朗日中值定理的关键是，构造一个合适罗尔定理条件的辅助函数，对应用罗尔定理，即可得到拉格朗日中值定理的结论. 问题2：构造辅助函数一般有哪几种方法？ 答：构造辅助函数一般有下面几种方法：分析法、几何直观法、凑原函数法、常数值法、积分法、解微分方程法、第二类积分法。 问题3：能否举例说明分析法在构造辅助函数中的使用？ 答： 所谓分析构造辅助函数法，就是先对所给的定理或命题进行分析、简化、变形，得出其等价命题，接着对该等价命题进行分析，看是否可以利用一些已知的定理或命题解决这个等价命题，由此可以构造出恰当的辅助函数来解决问题. 从拉格朗日中值定理结论来看，欲证存在一点,使得成立，即证存在一点，使得成立，亦即成立.这与罗尔定理的结论：的形式一样，所以可作辅助函数，显然， 满足罗尔定理的条件，并由 证得拉格朗日中值定理成立，亦即成立下面等式： （＜＜ 从结论的分析来设法构造辅助函数是微分学中用来证明定理或命题的方法之一，其思路就是从命题的结论入手来分析结论的形式特点，从中得到启发进而构造出与已知命题条件相等的辅助函数，使命题得证。 例1 证明方程至少有一个正根，并且它不超过，其中, . 分析：要证明一个方程有根