_求遞推数列通项公式的十种技巧.doc

求递推数列通项公式的十种技巧 一、利用公式法求通项公式 例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。 解：两边除以，得，则， 故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。 二、利用累加法求通项公式 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由 得 则 所以数列的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。 例3 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由 得 则 所以 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。 例4 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：两边除以，得 ， 则， 故 因此， 则 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+…+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。 三、利用累乘法求通项公式 例5 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：因为，所以，则， 则 所以数列的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。 例6 （2004年全国15题）已知数列满足 ，则的通项 解：因为 ① 所以 ② 所以②式－①式得 则 则 所以 ③ 由，取n=2得，则，又知，则，代入③得 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为（n≥2），进而求出，从而可得当n≥2时的表达式，最后再求出数列的通项公式。 四、利用待定系数法求通项公式 例7 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 ④ 将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式， 得 ⑤ 由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 例8 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 ⑥ 将代入⑥式，得 整理得。 令，则，代入⑥式，得 ⑦ 由及⑦式， 得，则， 故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。 例9 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 ⑧ 将代入⑧式，得 ，则 等式两边消去，得， 则得方程组，则，代入⑧式，得 ⑨ 由及⑨式，得 则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 五、利用对数变换法求通项公式 例10 已知数列满足，，求数列的通项公式。 解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩ 设 将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则 ，故 代入式，得 由及式， 得， 则， 所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此，则。 评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 六、利用迭代法求通项公式 例11 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：因为，所以 又，所以数列的通项公式为。 评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而 七、利用数学归纳法求通项公式 例12 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由及，得 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。 （1）当n=1时，，所以等式成立。 （2）假设当n=k时等式成立，即，则当时， 由此可知，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）（2）可知，等式对任何 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 八、利用换元法求通项公式 例13 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：令，则 故，代入得 即 因为，故 则，即， 可化为， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，即，得。 评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 九、利用不动点法求通项公式 例14 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。 评注：本题解题的