§2.4.1平面向量數量积的坐标表示（第13课时）.doc

第13课时：平面向量数量积的坐标表示 教学目的： 掌握平面向量数量积的坐标表示；掌握向量垂直的坐标表示的充要条件及平面内两点间的距离公式；能用所学知识解决有关综合问题。 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0。 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积。 4．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1?e?a = a?e =|a|cos?；2?a?b ? a?b = 0 3?当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|。 特别的a?a = |a|2或 4?cos? = ；5?|a?b| ≤ |a||b| 5． 平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(a)?b =(a?b) = a?(b) 分配律：(a + b)?c = a?c + b?c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量，，试用和的坐标表示。 设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么 ， 所以 又，， 所以 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 即 2.平面内两点间的距离公式 （1）设，则或。 （2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 设，，则 4.两向量夹角的余弦（） cos? = 三、讲解范例： 例1设a = (5, ?7)，b = (?6, ?4)，求a?b 解：a?b = 5×(?6) + (?7)×(?4) = ?30 + 28 = ?2 例2 已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(?2, 5)，求证：△ABC是直角三角形。 证明：∵=(2?1, 3?2) = (1, 1), = (?2?1, 5?2) = (?3, 3) ∴?=1×(?3) + 1×3 = 0 ∴? ∴△ABC是直角三角形 例3 已知a = (3, ?1)，b = (1, 2)，求满足x?a = 9与x?b = ?4的向量x。 解：设x = (t, s)， 由 ∴x = (2, ?3) 例4 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少? 分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１） 有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２． 记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝ 又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 例5 如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求点B和向量的坐标。 解：设B点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x?5, y?2) ∵? ∴x(x?5) + y(y?2) = 0即：x2 + y2 ?5x ? 2y = 0 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2即：10x + 4y = 29 由 ∴B点坐标或；=或 例6 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角， 求k值。 解：当A = 90?时，?= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 当B = 90?时，?= 0，=?= (1?2, k?3) = (?1, k?3) ∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k = 当C = 90?时，?= 0，∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k = 四、课堂练习： 1.若a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|２－４a·b＝（ ） A.23 B.57 C.63 D.83 2.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，则△ABC为（ ）  A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 4.a=(2,3),b