§5.2單因素方差分析..doc

§5.2 单因素方差分析 I 数学模型 (1) 单因素问题就是只考虑一个因素A对试验指标的影响问题。设此因素A有r个不同水平；在水平下，重复进行次试验，获得试验指标的个数据即样本： ； 这里，为水平下的总体，；下面做两个基本假设： (H1) 总体是独立的，且 ， 其中，及均为未知参数；（注意：具有相同的方差！） (H2) 为的简单样本。 (2) 单因子方差分析中的数学模型： 定义下列符号： 表示随机误差； 表示数据总数； 表示组内平均值； 表示总的平均值(及组间平均值)； 表示水平对试验指标的效应值； ； 数据的数学模型为： 注1：在此模型中，未知参数有r+1个： 及 在中的r-1个。 将此模型与一元线性回归中的数学模型进行比较： 数学模型 数据模型 一元线性回归 单因素方差分析 不成立 单因素方差分析 成立 这里， 或 。 当成立时，Y的简单样本就是： ， 其容量为：n. 显然，方差分析的数学模型比线性回归的数学模型要简单。显然，当成立时，单因素方差分析中的数学模型是一元线性回归数学模型的特例。 II 方差分析 (1) 假设检验问题 一个因素的不同水平对试验指标影响的差异体现在：“是否为零”的这一结论上。因此，假设格式为： 或 ； ； (2) 基本符号 注意：在假设成立的条件下，数据集 为因素A的简单随机样本。定义下列符号： 第i组的样本均值：； 总的样本均值：； 第i组样本均值为的无偏估计：； 总的样本均值为组间均值的无偏估计：； 总的离差平方和：； 组间差平方和： ； 组内差平方和： ， 即：。 (3) 基本关系 (i) 误差分解式： . （*） 证 故（*）式成立。 (ii) 误差平方和的基本特性： (1*) ；； (2*) 当成立时，；； (3*) 与 独立， 证 注意， ； ； 按抽样分布定理，有 ； . 此即(1*). 注意， ； 按抽样分布定理，当成立时，有 ； 按误差分解式及结论(1*)，有 ； 故得(2*) 注意， ； 现在，按抽样分布定理，与 独立；按样本的定义，当时，与是独立的；于是，与独立。注意， ； 于是，与独立；从而， 与独立. 综合起来，得： 与 独立。 注：当成立时， 可有如下表示： . (4) 检验统计量与否定域 设计F-统计量: (当成立时)； 注意,当较大时,偏离较大.这时，假设就不能成立.于是,否定域的结构应为： 又为的一个无偏估计。 故可由下式决定： 。 查F-表可得： 。最后，可确定否定域中的待定量c: 。 (5) 单因素方差分析表与判决 单因素方差分析表的设计 方差来源 自由度 平方和 均方差 F-值 判决 因素 A 若(*)真则拒绝 误差 若(*)假则接受 总和 (*) 此表涉及到的计算公式如下： ； ； ； 我们将用来代替尾概率关系 ； 判决时，不采用来作判断；而直接按否定域的含义进行判决。 注：从分析表中可以看出：参数（即水平数）必须大于1，即；样本容量： 。 习题5(p.187)： 2 例5.1.1(即引例) 基本数据：；；； ；。 计算数据：；； ；； ；. 结论：拒绝，即广告内容不同对销售指标有显著影响. III 统计分析 (1) 问题 在引例5.1.1中，经检验：三种水平对销售指标的影响是有差异的。这就提出另一个问题: 哪一种广告内容的效果最好？注意， 第i个水平的效应值反映第i个水平对因素A的影响. 因此，应选择效应值最大（或最小）的作为实施方案。 (2) 统计分析的目标：即是求出的点估计及的区间估计。 (3) 分析的步骤 (i) 选定的无偏估计： 注意，为的无偏估计；为的无偏估计；于是，为的无偏估计。 (ii) 设计检验统计量： 注意， ； ； (注：由可知： 对任意的， 都有 .) 则有 ；