“恒成立問题”解决的基本策略.doc

“恒成立问题”解决的基本策略 一、恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:?在给定区间上某关系恒成立;?某函数的定义域为全体实数R;?某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。 思路2、 如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值。 这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。 （二）、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得. 例1．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1) → ( ) A.10 B.7 C.-1 D.0 略解：取x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ， 故选D 例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么a=（ ）. A.1 B.-1 C . D. -. 略解：取x=0及x=，f(0)=f(),即a=-1，故选B. 此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想. （三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型： 若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 同理，若在[m,n]内恒有f(x)0，则有 例2．对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+12a+x恒成立的x的取值范围. 分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题. 解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在|a|2时恒成立, 设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有： 即解得： ∴x-1或x3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞) 此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可. 2、二次函数型 涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。 （1）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，则有 的定义域为R，求实数 的取值范围. 分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论. 解：依题意，当 恒成立， 所以，①当 此时 ②当 有 综上所述，f(x)的定义域为R时， 例4.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围. 分析：的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示： 略解： 变式1：若时，恒成立，求的取值范围. 分析：要使时，恒成立，只需的最小值即可. 解：，令在上的最小值为. ⑴当，即时， 又 不存在. ⑵当，即时， 又 ⑶当，即时， 又 综上所述，. 变式2：若时，恒成立，求的取值范围. 解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题. 略解：，即在上成立. ⑴ ⑵ 综上所述，. 解法二：（运用根的分布） ⑴当，即时， 不存在. ⑵当，即时，， ⑶当，即时，， 综上所述. 此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样. 对