“數列的求和”例题解析.doc

“数列的求和”例题解析 ? ? 例1． 求下列数列的前n项和Sn： （3） /PGN0166B.TXT/PGN ?例2．求和： /PGN0167A.TXT/PGN ? 例3． 求下面数列的前n项和： 分析：将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以为公比的等比数列，另一个数组成以3n－2为通项的等差数列，分别求和后再合并。 解 设数列的通项为an，前n项和为Sn 说明 等比数列的求和问题，分q=1与q≠1两种情况讨论。 例4．…的前n项之和是（ ） 数列{bn}的前n项和Sn=b1＋b2＋…＋bn /PGN0168A.TXT/PGN ?例5． 求在区间[a，b]（ba，a，b∈N）3的不可约分数之和。 其中，可约分数是a，a＋1，a＋2，…，b 故不可约分数之和为 =b2－a2 解法二/PGN0168B.TXT/PGN 两式相加：2S=（ab）（ab）（ab） 3为分母的分数个数减去可约分数个数。 即3（ba）1－（ba＋1）=2（ba） 2S=2（ba）（ab） S=b2－a2 ? 例6． 求下列数列的前n项和Sn： （1）a2a2，3a3，…，nan，…，（a0、1） （2）14，9，…，n2，…； （3）13x，5x2，…，（2n1）xn-1（x1） （1）Sn=a2a2＋3a3＋…＋nan ∵ a≠0 ∴ aSn=a2＋2a3＋3a4＋…＋（n1）annan+1 Sn－aSn=a＋a2＋a3＋…＋an－nan+1 ∵ a≠1/PGN0169A.TXT/PGN （2）Sn=14＋9＋…＋n2 ∵ （a1）3a3=3a2＋3a＋1 ∴ 23－13=3×12＋3×1＋1 33－23=3×22＋3×2＋1 43－33=3×32＋3×3＋1 …… n3－（n1）3=3（n1）23（n1）1 （n1）3n3=3n2＋3n＋1 把上列几个等式的左右两边分别相加，得 （n1）313=3（1222＋…＋n2）3（12＋…＋n）n ∴ 12＋22＋32＋…＋n2 （3） Sn=1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋（2n1）xn-1 xSn=x＋3x2＋5x3＋…＋（2n3）xn-1（2n1）xn （1x）Sn=12x（1x＋x2＋…＋xn-2）（2n1）xn /PGN0170A.TXT/PGN 说明 求形如{an·bn}的数列的前n项和，若其中{an}成等差数列，{bn}成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化归思想。