第四章根轨迹1解析.ppt

* P.153 图4-15给出了一些不同开环零极点分布时，其根轨迹大致走向。 * * * 规则 8：闭环极点之和 * 规则 8：闭环极点之和 * 表明：当开环极点数和开环零点数的差值大于或等于2时，根轨迹增益 Kr 由 0 趋于无穷变化时，虽然n个闭环极点会随之发生变化，但是闭环极点之和却保持不变 ， 其和等于开环极点之和。这意味着一部分闭环极点(根轨迹分支)变大时(向右移动)，另一部分闭环极点(根轨迹分支)必将变小(向左移动)，这样才能维持闭环极点之和为常数。这个规则对于判断根轨迹的走向是很有帮助的。 结论： 若 n-m?2 闭环极点之和 = 开环极点之和 = 常数 * 以上规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。 ⑴根轨迹的起点（开环极点pi)用符号“ ”标示；根轨迹的终点(开环零点zj)用符号“ o ”标示。 ⑵根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益Kr值的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。 ⑶要标出一些特殊点的Kr值，如起点（Kr=0)，终点（Kr趋向无穷）；根轨迹在实轴上的分离点d (Kr =Krd )；与虚轴的交点wc（ Kr =Krc）。还有一些要求标出的闭环极点s1及其对应的开环根轨迹增益Kr1，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。 * 例4-7 已知系统的开环传递函数为  试绘制该系统完整的根轨迹图。 解 ⑴该系统的特征方程为 为三阶系统，该系统有三条根轨迹在s平面上。 三、绘制根轨迹图示例 ⑵三条根轨迹连续且对称于实轴。 ⑶根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即 P1=0,p2=-1,p3=-2。由于没有开环零点（m=0）, 三条根轨迹的终点均在无穷远处。 * 当k=0时 当k=1时 当k=2时 ⑷求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角。 * ⑸由规则五知，实轴上的根轨迹为实轴上-1到0 的线段和由-2至实轴上负无穷远线段。 ⑹由规则六知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程 解的合理值，解得 d2=-1.58不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应为d1=-0.42 。 ⑺无复数开环极点和零点，不存在起始角和 终止角。 * 解虚部方程得 其中 是开环极点 对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为 将 代入实部方程得到对应的开环根轨迹增益的临界值 。绘制出该系统的根轨迹图如图4-11所示。 ⑻由规则七，可求出根轨迹与虚轴的交点 及对应的开环根轨迹增益的临界值 。用 代入特征方程得 * 图4-11 例4-7系统根轨迹图 * ⑴是一个二阶系统，在S平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。 ⑵由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点z1= -2, 和一对开环共轭复数极P1,2=-1±j1, 根轨迹的起点为p1(Kr=0) 和p2(Kr=0)，其终点为z1(Kr→∞) 和无穷远点 (Kr→∞) 。 ⑶实轴上由-2至-∞的线段为实轴上的根轨迹。 ⑷可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是 例4-8 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。 * 即 解方程可得d1= -3.414 , d2= -0.586。 由于d2= -0.586不在实轴上的根轨迹上，舍 去，实际的分离点(会合点)为d1= -3.414。 ⑸求开环复数极点（根轨迹的起点）的起始角。 或 * 证明 已知系统的开环零点和极点分别为在 z1=-2,p1=-1+j,p2=-1-j,令s=u+jv为根轨 迹的任一点，由相角条件可得 将s、z1、p1和p2代入得 应用三角公式 ⑹为准确地画出S平面上根轨迹的图形，运用相角条件可证明本系统在S平面上的根轨迹是一个半径为 ，圆心位于点(-2,j0)的圆弧。 即 * 方程表示在S平面上的根轨迹是一个圆心位于点 、半径为 的