等差数列定义解析.ppt

复 习 回 顾 数列的定义 按一定次序排成的一列数叫做数列。 一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 通项公式 递推公式 如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 1+2+3+···+100=? 高斯 (1777—1855） 德国著名数学家 得到数列 1，2，3，4， … ，100 引例一 姚明刚进NBA一周训练罚球的个数： 第一天：6000， 第二天：6500， 第三天：7000， 第四天：7500， 第五天：8000， 第六天：8500， 第七天：9000. 得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000 引例二 　姚明罚球个数的数列： 　6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000 发现？ 观察：以上数列有什么共同特点？ 从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。 高斯计算的数列： 1，2，3，4， … ，100 观察归纳 等 差 数 列 的 定 义 一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 定义的符号表示是： an - an-1=d(n≥2,n∈N*), 这就是数列的递推公式。 an+1-an=d(n∈N*) 是 练 习 一 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。 （1）1，3，5，7，… （2）9，6，3，0，-3… （3）-8，-6，-4，-2，… （4）3，3，3，3，… 是 是 是 a1=1,d=2 a1=9,d=-3 a1=-8,d=2 a1=3,d=0 （6）15，12，10，8，6，… 不是 不是 通 项 公 式 的 推 导1 设等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则 a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d an=a1+(n-1)d an=a1+(n-1)d（n∈N*） 所以等差数列的通项公式是： 迭代法 a2-a1=d, a3-a2=d, a4-a3=d, … an-an-1=d (a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3) +…+(an-an-1)=(n-1)d ∴an-a1=(n-1)d 即an=a1+(n-1)d 通 项 公 式 的 推 导2 累加法 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项 （2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？ 解： （1）由a1=8, d=5-8=-3, n=20,得 a20= (2) 由a1=8, d=－9－(－5)=－4, 得到这个数列的通项公式为 an=－5－4（n－1） 由题意知，问是否存在正整数n，使得 －401＝ －5－4（n－1） 成立 解关于n的方程， 得n＝100 即－401是这个数列的第100项。 8 + (20-1) × （－3） =-49 例题讲解 练 习 二 （1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项； （2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。 例2 在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d . 解之得： 解：由题意得： ∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3. 例 题 练 习 三 已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d. ∴这个数列的首项是1，公差是3。 解：依题意得： 解之得： 思考：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？ 请同学们思考并做以下练习。 1、已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3, 求a12,a3n. 思考练习 2、已知等差数列{an}中，am、公差d 是常数，试求出an的值。 所以等差数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d（n∈N*） 变形 an=am +(n-m)d(n,m∈N*)