概率统计小故事[精选].doc

3:8081/web/jp/gltj/web/C_Page09_12.htm 1.分赌本问题 A、B二人赌博，各出注金元，每局个人获胜概率都是，约定：谁先胜局，即赢得全部注金元，现进行到A胜局、B胜局(与都小于)时赌博因故停止，问此时注金应如何分配给A和B才算公平？此问题文字上最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对，和的情况。 由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确。例如，帕西奥利本人提出按的比例分配。塔泰格利亚则在1556年怀疑找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官来解决的问题，但他也提出了如下的解法：若，则A取回自己下的注,并取走B下的注的，这等于按的比例瓜分注金。法雷斯泰尼在1603年根据某种理由，提出按的比例分配。卡丹诺在其1539年的著作中，通过较深的推理提出了一种解法：记，。把注金按：之比分给A和B。他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之点，即他注意到起作用的是,与的差距，而不在其本身。 这个问题的症结在于：他关乎各人在当时状况下的期望值。从以上这些五花八门的解法，似乎可以认为，这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系。而此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率。循着这个想法问题很易解决：至多再赌局，即能分出胜负。为A获胜，他在这局中至少须胜局。因此按二项分布，A取胜的概率为，而B取胜的概率为。注金按之比分配给A和B，因和是A、B在当时状态下的期望值。这个解是巴斯噶（B.Pascal, 1623～1662）在1654年提出的。他用了两种方法，其一是递推公式法，其二是用“巴斯噶三角”（即杨辉三角）。1710年，蒙特姆特在一封信中给出了我们在前面写出的解法，且不必规定二人的获胜概率相同。后来他又把此问题推广到多个赌徒的情形。 分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系，有了启示。有的解法，特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具。如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等。可以说，通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段。 ? 2. 巴斯噶与费尔马的通信 巴斯噶与费尔马(P. de Fermat，1601～1665)的名字，对学习过中学以上数学的人来说，想必不陌生。巴斯噶三角，在我国称杨辉三角，中学教科书中已有提及。至于费尔马，因其“费尔马大定理”(不存在整数和整数，使) 于近年得到证明，名声更远播数学圈子之外。费尔马在数学上的名声主要因其数论方面的工作，其在概率史上占到一席地位，多少有些出乎偶然——由于他与巴斯噶在1654年7～10月间来往的7封信件，其中巴致费的有3封。 这几封信全是讨论具体的赌博问题。与前人一样，他们用计算等可能的有利与不利情况数，作为计算“机遇数”即概率的方法(他们没有使用概率这个名称。与前人相比，他们在方法的精细和复杂性方面大大前进了。他们广泛使用组合工具和递推公式，初等概率一些基本规律也都用上了。他们引进了赌博的值(value)的概念，值等于赌注乘以获胜概率。3年后，惠更斯改“值”为“期望” (expectation)这就是概率论的最重要概念之一——(数学)期望的形成和命名过程。前文已指出：此概念在更早的作者中已酝酿了一段时间。这些通信中讨论的一个重要问题之一是分赌本问题，还讨论了更复杂的输光问题：甲、乙二人各有赌本a和b元(a、b为正整数)，每局输赢1元，要计算各人输光的概率。这个问题拿现在的标准看也有相当的难度。由此也可看出这组通信达到的水平及其在概率论发展史上的重要性。有的学者，如丹麦概率学者哈尔德，认为巴、费2人在1654年的这些信件奠定了概率论的基础。这话有相当的道理，但也应指出，这些通信的内容是讨论具体问题，没有提炼出并明确陈述概率运算的原则性内容。例如，他们视为当然地使用了概率加法和乘法定理。但未将其作为一般原则凸现出来。 促使巴、费2人进行这段通信的，是一个名叫德梅尔的人，他曾向巴斯噶请教几个有关赌博的问题。1564年7月29日巴斯噶首先给费尔马写信，转达了这些问题之一，请费尔马解决。所提问题并不难，但不知何以巴斯噶未亲自回答：将两颗骰子掷24次，至少掷出一个“双6”的机遇小于（其值为）。但从另一方面看，投两个骰子只有36种等可能结果，而24占了36的，这似乎有矛盾，如何解释。现今学过初等概率论的读者都必能毫无困难地回答这个问题。 巴、费通信中涉及的有关分赌本问题的解法，包含了一些在当时看很先进且直到现在仍广为使用的想法和技巧，值得一述。 以和分别记为取得胜利，A、B尚须赢得的赌局数。巴斯噶认识到，注金的公正分配只应与和有关。因为若赌博继续