线性代数第一章n阶行列式【哈工大版】解析.ppt

第四节 克莱姆法则 课前复习 余子式与代数余子式 记作 . 划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式， 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列 叫做元素 的代数余子式． 记 关于代数余子式的重要性质 当 当 当 当 当 当 非齐次与齐次线性方程组的概念 设线性方程组 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 此时称方程组为齐次线性方程组. 使得方程组成立的一组数 称为此方 程组的解. 是 非齐次线性方程组 是 齐次线性方程组 显然， 是齐次线性方程组的 一个解，简称 零解 一、引例 用消元法解二元线性方程组 原方程组即 记 则上述方程组可写为 D称为原方程组的系数行列式. 方程组的解为 二、克莱姆法则 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 证明 再把 个方程依次相加，得 由代数余子式的性质可知, 于是 当 时,方程组 有唯一的一个解 由于方程组 与方程组 等价, 故 也是方程组的 解. 克拉默法则的局限性：只解决 方程组， 而且要求系数行列式若 D=0，则无法求解 三、重要定理 定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 无解或有无穷多个 解，则它的系数行列式必为零. 注：线性方程组可以是齐次或非齐次。 事实上，方程组 齐次线性方程组的相关定理 定理3　如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 有唯一解， 只有零解。 注：没有非零解 定理4　 如果齐次线性方程组 有非零解,则它 的系数行列式必为零. 注：有多个解，零和非零解。 有非零解. 系数行列式 今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，问牛羊各直几金？ 解：牛羊分别直 金，记 例1 例2 用克莱姆法则解方程组 解 例3 问 取何值时，齐次方程组 有非零解？ 解 齐次方程组有非零解，则 所以 或 时齐次方程组有非零解. 例4 当 为何值时，齐次线性方程组 有非零解？ 分析：系数行列式 D=0 解 所以 解得 1、用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2、Cramer法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 3、如果线性方程组的系数行列式 则线性方程组一定有解,且解是唯一的 . 4、如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 四、小结 例5 解 第三节 行列式按行(列)展开 例如 一、余子式与代数余子式 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 叫做元素 的代数余子式． 例如 引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ． 例如 证 当 位于第一行第一列时, 再证一般情形, 得 得 中的余子式 故得 于是有 定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证 二、行列式按行（列）展开法则（拉普拉斯展开定理） 例1 计算行列式 解 按第1行展开，得 方法2： 按第2行展开 例2 计算分析：第一行有2个零，按第一行展开 例3 计算解： 例4 总结：计算行列式最常用的两种方法 1 .化上（下）三角形法 根据行列式的性质 2.按某行某列展开→ →降阶法 先利用行列式的性质把原行列式的某行（列） 的元素尽可能多地变为零，使该行（列）不为零的元素只有一个或两个； 然后再按该行（列）展开降阶后进行计算。 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 证 同理 相同 关于代数余子式的重要性质，可简记为 例5 计算行列式 解 例6 设求第一行各元素的代数余子式之和解： 例7 范得蒙行列式 例如 例 计算