[导数求凹凸性.docVIP

第四节??函数的单调性与曲线的凹凸性 ?一、函数单调性的判定方法 如果函数在上单调增加（单调减少）,?那么它的图形是一条沿轴正向上升（下降）的曲线.?这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）,?即?(或)?由此可见,?函数的单调性与导数的符号有着密切的关系. ????反过来,?能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理?(函数单调性的判定法)??设函数在上连续,?在内可导. ?(1)如果在内,?那么函数在上单调增加; ?(2)如果在内,?那么函数在上单调减少. ?证明??只证(1)（（2）可类似证得） 在上任取两点,?应用拉格朗日中值定理,?得到 . 由于在上式中,?因此,?如果在内导数保持正号, 即,?那么也有,?于是 从而，因此函数在上单调增加.?证毕 例3-19??判定函数在上的单调性. ????解??因为在内, 所以由判定法可知函数在上单调增加. 例3-20??讨论函数的单调性. ????解???由于?且函数的定义域为 令,?得,?因为在内,?所以函数在上单调减少;?又在内,?所以函数在上单调增加. ????例3-21?讨论函数的单调性. ???解:?显然函数的定义域为,?而函数的导数为 所以函数在处不可导. 又因为时,,?所以函数在上单调减少; ?因为时,?,?所以函数在上单调增加. ????说明:?如果函数在定义区间上连续,?除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,?那么只要用方程的根及导数不存在的点来划分函数的定义区间,?就能保证在各个部分区间内保持固定的符号,?因而函数在每个部分区间上单调. ????例3-22.?确定函数的单调区间. ?解??该函数的定义域为. 而,令,?得. 列表 + - + ↗ ↘ ↗ 函数f(x)在区间和内单调增加,?在区间上单调减少. ???例3-23讨论函数的单调性. ???解??函数的定义域为 函数的导数为:,?除时,?外,?在其余各点处均有?因此函数在区间上单调减少; ?因为当时,?,?所以函数在及上都是单调增加的.?从而在整个定义域内是单调增加的.其在处曲线有一水平切线. 说明:一般地,?如果在某区间内的有限个点处为零,?在其余各点处均为正（或负）时,?那么在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 例3-24?证明:?当时,?. 证明:?令,?则 因为当时,,?因此在上单调增加,?从而当时,??,又由于,?故, 即,?也就是,(). 二、函数的凹凸性与拐点 在给出凸性严格定义之前，从直观上看一下函数图形凸性的几何特征，如图所示， ???? ?图形上任意弧段位于所张弦的下方????图形上任意弧段位于所张弦的上方 ? 定义3-6-1??设在区间I上连续,?如果对I上任意两点?,?恒有 那么称在I上的下凸函数;?如果恒有 那么称在I上的上凸函数. 函数的上凸下凸的性质叫做函数的凸性 二、判定函数的凸性的充分条件 定理???设在上连续,?在(a,?b)内具有一阶和二阶导数,?那么 (1)若在内,?则在上是下凸的; (2)若在内?,?则在上是上凸的. 证明?只证(1)((2)的证明类似).?设,?记. 由拉格朗日中值公式,?得 ,? ,? 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 ,? 即,?所以在上的图形是凹的.????? 拐点:?连续曲线上凸与下凸的分界点称为这曲线的拐点. 确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求出在二阶导数?; (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断,?确定出曲线凹凸区间和拐点; 注:?根据具体情况（1）、（3）步有时省略. 例3-34??判断曲线的凸性. 解:??因为?,?.?令?得, 当时,?,?所以曲线在内为上凸的; 当时,,?所以曲线在内为下凸的. 例3-35??求曲线的拐点及凸性区间. 解:?(1)函数的定义域为; ?(2)?,;(3)解方程,?得,?; ?(4)列表判断: ?? ? ? ?在区间和上曲线是下凸的,?在区间上曲线是上凸的.?点?和是曲线的拐点. 例3-36?问曲线是否有拐点？ 解??,??. 当时,?,?在区间内曲线是下凸的,?因此曲线无拐点. 例3-37??求曲线的拐点. 解??(1)函数的定义域为; (2)?,?; (3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为?; (4)判断:?当时,;?当时,?因此,?点是曲线的拐点. 拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a) ?? 示意图 令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f(x+θ△x)*△x (0θ1) 　　上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增