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导数在不等式证明中的应用 姓名： 学号： 指导老师： 摘要：本文首先给出了导数在不等式证明中的一些常用方法，随后对导数的几种性质进行描述，主要研究其在不等式证明中的应用。由于不等式证明方法和一般解题方法不同，一般解题过程中所得的结果大多数是一个等式，不等式证明过程需要得到的是一个不等式，所以我们证明时要区别对待。因此本文利用单调性、最值、拉格朗日中值定理、泰勒公式、函数的凹凸性等一些方法来证明不等式，有事半功倍的效果。本文在介绍这些定理的同时并举例说明不等式证明的解题思路与证明方法，并提供了一些不等式证明的技巧。 关键词： 导数 不等式 证明 应用 The application of derivative in proving inequalities Name: Tu Duoyong Student Number: 200840510137 Advisor: Wang Huiling Abstract: This paper first gives a derivative in proving inequalities in some of the commonly used methods, then the derivative of the several properties are described, the main research and its application in proving inequalities. As a result of the inequality proof method and the general method of solving problems of different, generally in the course of solving the results most is an equation, inequality proof process needs to be a inequality, we prove that when we make a distinction between. This paper using the monotonicity, the value, the Lagrange mean value theorem, Taylor formula, the concavity and convexity of functions and some other methods to prove inequality, multiplier effect. Based on the introduction of these theorems and examples of the proof of the problem-solving ideas and methods of proof, and provides some inequality proof techniques. Key words: derivative inequality proof application 不等式证明在高中以及大学课程中经常出现，而我们在证明不等式的时候经常会出现这样那样的问题。如果这一类问题能够得到解决的话，那么我们在解决这一类问题时就可以避免一些不必要的麻烦，提高我们解题的速度，减少解题的错误率。另外不等式证明方法很多有些简单有些又比较复杂，而我们在解题是经常会出现简单的我们想不起来复杂的我们能够想起来但解题过程会经常出错。如果我们能够形成一套系统化的简单方法，这样我们在解题时即能够快速想起来又不容易出错。利用导数证明不等式比较简单，而且应用范围很广。基本上不等式都可以化成函数形式，因此我可以把不等式化成函数然后用导数求解。这样我们的解题速度会远远大于以前并且我们解决这一类问题的能力也会得到提高。 利用函数的单调性证明不等式 不等式大多数都可以用函数的思想予以对待，为达到简化不等式的目的我们可以把不等式转化为函数，这样我们可以选择的方法就比较多了。利用函数的单调性证明不等式就是把不等式转化为函数，然后证明函数的单调性，最后利用函数单调性的结论或性质证明不等式。 定理 设函数在区间（a ,b）上可导，那么在[a ,b]上递增（或递减）的充分必要条件是在区间[a ,b]内成立。 用单调性证明不等式的一般步骤如下： 选取适当的函数，确定函数自变量所在的区间， 求，确定在区间上的单调性， 根据，完成目标不等式的证明。 例1 求证： 当时，。 证明 令，则 ， 。 因，所以与同号。 由于满足，（）， 可见，，于是。 由此可得在，单调增加，又