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编号 2010212044 学 年 论 文 （ 2010 级本科） 题 目： 导数在经济学中的应用 二级学院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 作者姓名： 石学存 指导教师： 朱福国 职称： 副教授 完成日期： 2012 年 11 月 18 日 二○一二 年 十二 月 导数在经济学中的应用 石学存 指导老师：朱福国 （河西学院数学与应用数学专业2010级103班2010212044号, 甘肃张掖 734000） 摘 要 导数在经济领域中的应用非常广泛,运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、弹性分析、优化分析,对企业定价策略有着非常重要的作用. 关键词 导数;边际;弹性;交叉弹性 中图分类号 O172.1 1 引言 随着市场经济的发展,应用导数定量分析经济领域中的问题,已成为经济学中的一个重要组成部分.导数是微积分中一个重要概念,它是函数关于自变量的变化率.在经济学中也存在变化率问题；如价格的变化必然会带动需求量的变化,为了实现利润最大化,我们需要考虑,企业产品的需求价格边际问题、弹性、交叉弹性问题,从微观和宏观把握经济的变化. 2 导数的经济学解释 刻画了函数在的变化率,当自变量处有一个单位的变化,则函数在处有个单位的变化. 假设市场上某种商品的需求函数其中为商品的价格,为市场上该商品的需求量.表示当价格在处有一个单位的变化,则该商品的需求量将会有个单位的变化.同样对于供给函数、总成本函数、总收入函数、总利润函数都可以对导数意义理解. 3 边际分析 在经济学中,所谓“边际”指当的改变量时,的相应改变量与比值的变化.即当在某一给定值附近有微小的变化时的瞬时变化. 3.1边际成本 边际成本在经济学中被定义为产量增加一个单位时所增加的成本.设某产品的成本函数为,为产量.即边际成本为,当变化很小时,,(微积分定义).为边际成本函数. 可见,边际成本约等于成本函数的变化率,在实际生产中：在每一产量水平上的边际成本就是相应的总成本曲线在该点处切线的斜率,即总成本函数在该产量处的导数值.因此,在经济决策分析中边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算. 例1某种产品的总成本C(万元)与产量q(万件)之间的函数关系式为.求当生产水平q=10(万件)时的边际成本,并从降低成本角度看,继续提高产量是否合适？ 解 时的总成本为 , 边际成本 即 . 因此在生产水品为10万件时,每增加一个产品总成本增加3元.这远低于当前的单位成本,从降低成本的角度看,应该继续提高产量. 3.2 边际收入 边际收入指稍微增加一个单位的销量时所增加的销售收入.即假设某产品的收入函数为,为产品的销售量,有边际收入 因此,边际收入约等于收入函数的变化率.在实际中：每一销售水平上的边际收入值就是相应的总收入曲线在该点处切线的斜率,即总收入曲线关于该销售量的导数值. 3.3 边际利润 边际利润即边际收入与边际成本的差 设某产品德销售量为q时的利润函数为,当可导时,称销售量为q时的边际利润,它近似等于销售量为q时再多销售一个产品所增加的利润. 由于利润为收入与成本的差,即利润函数为收入函数与成本函数之差,即由导数的运算法知,即边际利润为边际收入与边际成本之差. 例2 某餐店每月对某种菜的需求是由确定的,其中q是需求量(盘),是价格(元),生产q盘菜的成本为,试问当产量是多少时,餐店才获得的利润最大？最大利润是多少？ 解 总收入 因 , 根据利润最大原则 即 , 所以q=2440(盘). 由于q=2440是函数唯一的极值点,所以是函数的最大点,即当产量为2440时有最大利润. 由利润 , 最大利润 , 所以当产量为2440时,餐店获得最大利润,最大利润为2476.8. 例3 某公司总利润与日产量之间的函数关系式即利润函数为（元/件）,试求每天生产150吨、200吨、350吨时的边际利润,并说明其经济意义. 解 有利润函数 得边际利润 ; ; ; . 从上面可以看出,当日产量在150吨时,每天增加1吨产量可增加总利润0.5万元;当日产量在200吨时,再增加产量,总利润已经不会增加;而当日产量在350时,每天产量再增加反而使总利润减少1.5万元,由此可见,该公司应该把日产量定在2