02定积分讲解.doc

02定积分 一、知识点 1、设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的，记作：，即＝(ξi)△x。这里，a与b分别叫做与，区间[a，b]叫做，函数f(x)叫做，x叫做，f(x)dx叫做。定积分的性质 ①（k为常数）；②； ③（其中a＜c＜b。3、一般地，如果f(x)是区间上的连续函数，并且那么＿＿。这个结论叫做微积分基本定理。又叫＿＿＿＿公式。 4.如果变速直线运动的速度v=v(t)(v≥0),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程为＿。 5.当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取＿＿；当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取＿＿；当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为＿＿。 6.定积分求曲边梯形面积由三条直线x＝a，x＝b（ab），x轴及一条曲线y＝f（x）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积S=＿＿＿＿。 如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（ab）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝＿＿＿＿。 二、典例例题 例1、计算下列定积分的值 （1）；；（2）；； 解析：（1） ； （2） 変式训练一、 （1）（2） （1）因为，所以 例2、求直线y=2x+3与抛物线所围成的图形的面积。 解析：由方程可得。故所求图形面积为 - 変式训练2：计算由曲线所围成图形的面积。 例3、（1）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功解。 媒质阻力，其中k为比例常数，k0。 当x=0时，t=0；当x=a时，， 又ds=vdt，故阻力所作的功为： 三、强化练习 1．将和式的极限表示成定积分 （ ） A． B． C． D． 2．下列等于1的积分是 （ ） A． B． C． D． 3．= （ ） A． B． C． D． 4．已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为 （ ） A． B． C． D． 5．曲线与坐标周围成的面积 （ ） A．4 B．2 C． D．3 6．= （ ） A． B．2e C． D． 7．求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（　） A．［0，］ B．［0，2］　 C．［1，2］　 D．［0，1］ 8．由直线，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （　 ） A．　 B．　C．　 D． 9．如果1N力能拉长弹簧1cm，为将弹簧拉长6cm，所耗费的功是 （ ） A．0.18 B．0.26 C．0.12 D．0.28 10．将和式表示为定积分 ． 11．曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为　　　　　． 12．由及轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为　　． 13．按万有引力定律，两质点间的吸引力，ｋ为常数，为两质点的质量，ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点沿直线移动至离的距离为ｂ处，试求所作之功（ｂ＞a） ． 14．（12分）计算下列定积分的值 （1）；（2）； （3）；（4）； 15．（12分）求曲线与轴所围成的图形的面积． 16．（12分）求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值. 17．（12分）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功,方程f（x）=0有两个相等的实根，且 f′（x）=2x+2. （1）求y=f（x）的表达式； （2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积. （2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值. 19．（14分）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成