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命题： P是椭圆＝1上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则（1），（2）。 P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则（3）。 证明： |PF2|=√[(x0-c)2+(y0)2]=√[x02-2cx0+c2+b2(1-x02/a2)] =√[(c2/a2)x02-2cx+a2]=a-(c/a)x0 说明： 数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. 巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。 一、用于求离心率 例 分析： 所以， 所以。 二、用于求椭圆离心率的取值范围 例 分析： 由得 故，即，又。 所以。 三、用于求焦半径的取值范围 例 分析： 所以。 四、用于求两焦半径之积 例 分析： 由知，所以的最小值为，最大值为。 五、用于求三角形的面积 例 分析： 。 由余弦定理得。 解得 所以 六、用于求点的坐标 例 分析： 及得 ， 解得 所以。 七、用于证明定值问题 例 分析： 化简得 所以为定值。 八、用于求角的大小 例 分析： 所以 所以。 九、用于求线段的比。 例 分析： 由两式相减并化简得 。 所以 。 所以 。 令，则，故 所以， 所以。 如图 设的坐标为，椭圆与双曲线的离心率分别为，则，，消去得，。不妨设，由成等差数列得，即。 易知易知 的最值不妨设为椭圆的左焦点，而，则。故。 设的坐标为，则 如图，连，则，由焦半径公式得，即。 若椭圆的焦点在轴上，则有。我们把椭圆上的点到两焦点的距离称为焦半径，而（或）、（或）称为焦半径公式。如图1，椭圆的准线方程为和。由椭圆的第二定义得，化简即得1如图为椭圆的两个焦点，以线段为直径的圆交椭圆于四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率。2已知为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点，使，求离心率的取值范围。3若是椭圆上的点，为椭圆的焦点，求的取值范围。4若为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，求的最值。5 若是椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点，且，求的面积S。 。6 若为椭圆上的点，为椭圆的焦点，且，则的横坐标为_________。 由， ，7已知为椭圆上两点，为椭圆的顶点，F为焦点，若成等差数列，求证：为定值。 ，8 如图3，设椭圆与双曲线有公共焦点，为其交点，求。9过椭圆的左焦点作与长轴不垂直的弦的垂直平分线交轴于，则。4，设的坐标分别为，AB的中点为，则。AB的垂直平行线方程为N的坐标为若椭圆的焦点为，离心率为为椭圆上任意一点，则有。 例1 已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -. 【分析】 可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可. 【解答】 由两点间距离公式，可知 |PF1|= (1) 从椭圆方程解出 (2) 代（2）于（1）并化简，得 |PF1|= (-a≤x≤a) 同理有 |PF2|= (-a≤x≤a) 【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式 r1=a+ex r2=a-ex (e=) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数. r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）. （二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来. 椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. 例2． P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（ac0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|. 【分析】 问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2. 【解答】 依题意，有方程组 ②-③得 代①于④并整理得r1-r2= ⑤ 联立①，⑤得 【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然. 焦半径公式与准线的关系 用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式. 如图右，点P（x，y