[差分法.docVIP

第三章 有限差分法 函数，x为定义在区间上的连续变 量。将区间等分成n份，令称为 步长，x在这些离散点处的取值为 称为节点。函数在这些节点处的差值 (5-1) 分别称为一阶向前、向后和中心差分，可以用它 们作为函数在处的微分近似值。这些差分 与相应x区间的比值 (5-2) 分别称为一阶向前、向后和中心差商，可以用它 们作为函数在处的导数近似值。完全类似 地可以定义高阶差商，例如常用的二阶中心差商 (5-3) 可以作为函数在处的二阶导数近似值。 §3.1 常微分方程初值问题的差分解法 考虑电学中的一个问题：如图5-1。研究 电容器上的电荷随时间的变化规律。 图5-1 RC放电回路 这个问题对应的微分方程及其定解条件为： (5-4) 这是一阶微分方程的初值问题，它的解析解为 (5-5) 一、欧拉(Euler)折线法 求解下列普遍形式的一阶微分方程的初值 问题： (5-6) 首先，将区间等分n份，取值 ，步长。 然后，用一阶向前差商近似一阶导数，即 (5-7) 简记，则式(5-7)可以写成差分格式： (5-8) 此即向前欧拉差分格式。这是一个递推计算格式， 从区间左端点即式(5-6)中的初始条件出发，按式 (5-8)依次可以算到区间右端点，得到的 就是原方程解的近似值。 应用式(5-8)计算RC放电方程(5-4)，按SI单 位制，取，，时间步长，计 算结果如下： 表5-1 用欧拉法计算RC放电方程 时间 欧拉法数值解 解析解 0 10.000000 10.000000 1 8.750000 8.824969 2 7.656250 7.788008 3 6.699219 6.872893 4 5.861816 6.065307 5 5.129089 5.352614 6 4.487953 4.723666 7 3.926959 4.168620 8 3.436089 3.678794 9 3.006578 3.246525 10 2.630756 2.865048 从表5-1可见，时间较小时，计算值与解析 值比较一致，而随着时间的增加，两者之差有增 加的趋势，其原因可以从向前欧拉差分格式(5-8) 的几何意义得到解释。 图5-2 向前欧拉差分格式的几何意义 如图5-2，一开始从求时，公式为 也可以将其写为 这是过点、斜率为的直线方 程，由求的过程相当于从点沿该 直线求点的过程，直线上的与曲线上 的一般是不相等的，这就是由于采用直线近 似曲线产生的计算误差，并且由此往后的每一步 计算都是如此，欧拉法实际上是用一条折线近似 原来的曲线，所以又称为欧拉折线法。 关于欧拉法的局部截断误差，可以利用级数 展开的方法进行讨论，在点处作泰勒级数展开： (5-9) 与欧拉差分格式(5-8)比较可知，局部截断误差为 (5-10) 记号表示局部截断误差是h的二次方数量 级，此时称该计算具有一阶精度。一般情况下， 如果局部截断误差为，则称有m阶精度。 如果采用一阶向后差商近似一阶导数，即 (5-11) 并将所有角标加1，可以得到向后欧拉差分格式： (5-12) 计算时，要从式(5-12)中解出。如果称向前 欧拉差分格式(5-8)为显式格式的话，那么向后 欧拉差分格式(5-12)就是隐式格式。 向后欧拉差分格式(5-12)的局部截断误差也 是。 我们还可以采用一阶中心差商近似一阶导 数，即 (5-13) 可以得到中心欧拉差分格式： (5-14) 如果我们将式(5-8)和式(5-12)称为单步格式的话， 那么式(5-14)就是两步格式。 中心欧拉差分格式的局部截断误差为， 比前两者精度高一阶。 二、Lax等价定理 关于微分方程的适定性，差分方程的相容性、 收敛性和稳定性。如图5-3所示。 图5-3 微分方程的适定性与差分方程的相容性、 收敛性和稳定性之间的关联 微分方程的适定性： 定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称 为定解问题的适定性。满足存在