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2-1 第一章 常用逻辑用语 小结与复习(教案) 【知识归类】 1．命题：能够判断真假的陈述句. 2. 四种命题的构成:原命题:若则;逆命题:若则;否命题:若则;逆否命题: 若则. 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系: 原命题为真,它的逆命题. 原命题为真,它的否命题. 原命题为真,它的逆否命题. 逆命题为真,它的否命题. 原命题与逆否命题互为逆否命题,它们的真假性是. 逆命题与否命题互为逆否命题,它们同真同假. 3. 充分条件与必要条件: :是充分条件; 是必要条件; . 4. 逻辑联接词: “且”、“或”、“非”分别用符号“”“ ”“ ”表示，意义为： 或：两个简单命题至少一个成立；且：两个简单命题都成立；非：对一个命题的否定. 按要求写出下面命题构成的各复合命题，并注明复合命题的“真”与“假”. :矩形有外接圆; 矩形有内切圆. （真） （假） 非:（假） 5. 全称量词与全称命题：常用的全称量词有：“所有的”、“任意的”、“每一个”、“一切”、“任给”等，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫全称命题. 6. 存在量词与特称命题：常用的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有的”、“某个”等，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫特称命题. 7. 对常用的正面叙述的词语填上它们的否定词语: 正面词语 等于= 大于() 小于() 是 都是 任意的 否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 某个 正面词语 所有的 任意两个 至多有一个 至少有一个 至多有n个 否定词语 某些 某两个 至少有两个 一个也没有 至少有n+1个 8. 反证法的逻辑基础: (1) 与的真假相异,因此,欲证为真,可证为假,即将作为条件进行推理,如果导致矛盾,那么必为假,从而为真. (2) “”与“”等价.欲证“”为真,可由假设“”来证明“”,即将“”作为条件进行推理,导致与已知条件矛盾. （3）由“”的真假表可知，“”为假，当且仅当真假，所以我们假设“真假”，即从条件和出发进行推理，如果导致与公理、定理、定义矛盾，就说明这个假设是错误的，从而就证明了“”是真命题. 后两条的逻辑基础,可以概括成一句话:“否定结论，推出矛盾”. 【题型归类】 题型一：四种命题之间的关系 例1 “R），则”的逆否命题是（ D ）. (A) R),则 (B) R),则 (C) R),则 (D) R),则 【审题要津】命题结论中的如何否定是关键. 解: 是,否定时“且”应变为“或”,所以逆否命题为: R),则,故应选D 【方法总结】一个命题结论当条件，条件作结论得到的命题为原命题的逆否命题. 题型二：充分、必要条件题型 例2 “”是“等式”的 （ A ）. （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分有不必要的条件 【审题要津】,说明,问题的关键是由两个角的正弦值相等是否一定有两个角相等. 解: 由,所以,所以,充分;反之,由,不见得有,故应选A. 【方法总结】:是充分条件; 是必要条件,否则:是的不充分条件; 是不必要条件. 变式练习：“”是“”的 （ A ）. （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分有不必要的条件 例3 ，若是的必要但不充分条件，求实数的取值范围. 【审题要津】命题,可以化的更简,由和的关系可以得到与的关系,利用集合的理论方法将问题解决. 解: 得：， . . 由是的必要但不充分条件知：是的充分但不必要条件，即于是： . 【方法总结】利用集合作为逻辑演绎的一个方法，体现了集合的应用，能把各种关系清楚地描绘出来. 题型三：复合命题真假的判断 已知 方程无实根, 求的取值范围. 【审题要津】把两个方程化简，然后根据列不等式组，方可求的取值范围. 解： ， 【方法总结】此题是方程与命题的综合题,涉及到一元二次方程的判别式和根与系数的关系,一元二次不等式及不等式组、集合的补集、两类复合命题的真假判断. 变式练习：设有两个命题, :不等式的解集为R, :函数 在R上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则的取值范围是. 题型四：全称命题、特称命题 例5 设为两个集合,下列四个命题: (2) (3) (4) 其中真命题的序号为. 【审题要津】根据子集的概念,通过举反例加以