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02线性规划--整数规划讲解
整数规划 线性规划问题中,有时要求决策变量是整数,比如决策变量是表示人数、机器台数等时,决策变量就应该为整数。 决策变量有非负整数要求的线性规划,称为整数规划(Integer Programming,IP)。 整数规划 整数规划 (1)纯整数规划(All Integer programming) 如果全部决策变量有非负整数要求的线性规划。 (2)混合整数规划(Mixed Integer Programming) 如果只有部分决策变量有非负整数要求的线性规划。 (3)0-1规划 如果决策变量要求只取0或1的线性规划。 整数规划是一般的线性规划的特殊形式,0-1规划是整数规划的特殊形式。 整数规划 在整数规划问题中变量只能取离散的整数值,可行解的总数是有限的。 从有限多的可行解中寻找最优解的最直观也是最简单的想法就是枚举法:把问题的解全部列举出来比较,找出最优。但对一般整数规划问题来说,由于可行解的总数随变量的增长成指数倍增长,使应用枚举法失去意义。 分支定界法和割平面法就是为求解整数规划问题而设计的一种较好的方法。 整数规划 枚举法: 枚举法 整数规划-分支定界法 整数规划-分支定界法 整数规划-分支定界法 第1步:求松弛问题的最优解 求得的最优解为: 显然不满足整数要求。 整数规划-分支定界法 整数规划-分支定界法 整数规划-分支定界法 整数规划-分支定界法 整数规划-分支定界法 整数规划-分支定界法 整数规划-分支定界法 整数规划-分支定界法 整数规划-分支定界法 整数规划-分支定界法 整数规划-分支定界法 整数规划-分支定界法 整数规划-分支定界法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—割平面法 整数规划—0-1规划 整数规划—0-1规划 整数规划—0-1规划 整数规划—0-1规划 整数规划—0-1规划 整数规划—0-1规划 整数规划—0-1规划 整数规划—0-1规划 例:求线性规划的最优解 整数规划—0-1规划 小游戏 小游戏 小游戏 小游戏 小游戏 小游戏 小游戏 小游戏 小游戏 44/3 -4/3 -1/3 0 0 5/3 5/6 -1/6 0 1 x1 3 8/3 -2/3 1/3 1 0 x2 4 最优表 0 0 3 4 6 1 0 1 2 x4 0 20 0 1 5 4 x3 0 初始表 x4 x3 x2 x1 XB CB b 0 0 3 4 cj 项目 用单纯形法求解: 第2步:构造割平面方程: 由最优单纯形表,找出基变量取值不满足整数要求的约束方程。 如果有多个基变量的取值不满足整数要求时,将它们的值分成“整数”和“正真分数”两部分,选取真分数最大者的基变量。 我们取基变量x2对应的约束条件来构造割平面方程。 第2步:构造割平面方程: 把找到的约束方程中的所有系数和常数写成整数和非负真分数之和。 上式右端要为整数,则必须满足: 即: 加上整数要求,故: 第2步:构造割平面方程: 由约束条件: 刚才的最优解不满足此约束,于是可以使用此约束把不满足整数要求的可行解割出去,使其成为不可行解。 这就是割平面方程: 解此线性规划,得最优解: 第3步:加入割平面方程,新的松弛规划: 解此线性规划,得最优解: 这也是原整数规划的最优解。 P76题3-5:用割平面法求解整数规划: 第1步:对应的标准型松弛问题为: 例: 8/3 5/3 8 3 20 6 b 0 -1/2 1/2 0 8/3 1 -2 3 0 x4 0 6 0 1/2 1/2 1 x1 1 2 -1/6 5/6 0 1 x1 1 3 1/3 -2/3 1 0 x2 1 -1/6 -1/6 0 0 0 0 1 1 5 1 0 5 4 x4 0 3 0 1 1 2 x3 0 1 x4 x3 x2 x1 XB CB b/aij 0 0 1 1 cj 项目 第2步:构造割平面方程: 由最优单纯形表,找出基变量取值不满足整数要求的约束方程。 把不满足整数要求的基变量的值分成“分数”和“正真分数”两部分。 最大真分数相等,取排在前面的约束条件来构造割平面方程。 真分数大小一样,取前一个约束条件: 第2步:构造割平面方程:
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