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专题(一) 三角形的心 1 基础知识 (1)重心 设G是△ABC的重心,AG的延长线交BC于D,则①BD=DC; ② ; ③ AG:AD=2:3; ④ S。 (2)外心 设⊙O(R)是△ABC的外接圆,OD⊥BC于D交⊙O于E,则①OA=OB=OC; ② ∠BOC=2∠A(或2(180-∠A)); ③ BD=DC,; ④ 。 (3)内心 设△ABC的内切圆⊙I(r)切边AB于P，AI的延长线交外接圆于D，则： ① ② ； ③BD=DI=DC； ④。 定理1 （Euler定理） △ABC中R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则。 (4)垂心 设O、G、H分别为△ABC的外心、重心和垂心，OD⊥BC于D，AH的延长线交外接圆于，则：①AH=2OD ② H与关于BC成轴对称；③⊙BCH与⊙ABC的半径相等。 定理2（三角形的Euler线）△ABC的重心G，垂心H和外心O共线，并且GH=2GO (5)旁心 设△ABC在∠A内的旁切圆⊙与AB的延长线切于，则 ①；②；③；④ (6)三角形中内切圆、旁切圆和外接圆半径的几个关系 在△ABC中，内切圆⊙O分别与三边相切于M、K和L，BC边上的旁切圆⊙与BC相切于H，且与AB边和AC边的延长线相切于Q、P点。设△ABC中BC、CA、AB分别为a,b,c；∠A，∠B，∠C分别为；；内切圆半径为r，旁切圆半径分别为，外接圆半径为R，三角形面积为，则有如下关系：（证明从略） ①直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于其三角形周长的一半。 ②； ③ ④； ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 2 范例解读 1．（2001，世界城际）点A在∠KMN内部，点B在KM上，点C在MN上，如果∠CBM=∠ABK，∠BCM=∠CAN，求证：△BCM的外心在AM上。 2．（1996，全俄）在等要三角形△ABC中，AC=BC，O是它的外心，I是它的内心，点D在BC边上，使得OD与BI垂直。证明：直线ID与AC平行。 3．在△ABC中，∠A的平分线与外接圆交于D，I是内心，M为BC的中点，P为I关于M的对称点，延长DP与外接圆相交于N，求证：AN，BN，CN中有两个的和等于第三个。 4.（1994，全国）设△ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=60，∠A∠C, ∠A的外角平分线交圆O于E，求证：（1）IO=AE； （2） 5．（1998，全国）O、I分别为△ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上，，求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。 3 练习 1．（1995，日本）锐角△ABC的外心为O，线段OA，BC的中点分别为M、N， ∠ABC=4∠OMN，∠ACB=6∠OMN，求∠OMN。 2. (1994，江苏)D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，且∠FDE=∠A，∠DEF=∠B，又设△AEF、△BDF，△CED均为锐角三角形，它们的垂心依次为。求证： （1）；（2）。 3．（1988，美国）设I为△ABC的内心，且分别为△IBC，△ICA，△IAB的外心，求证：△ABC与△有相同的外心。 4. △ABC的内心为I，内切圆分别为BC，CA于点D、E，如果BI交DE于点G。求证：AG⊥BG。 5．已知△ABC的内切圆⊙I与BC边切于D，DE是⊙I的直径，AE的延长线交BC于F，求证：BD=CF。 6．（2000，全俄）锐角三角形ABC外接圆的圆心为O，经过A、O、C三点的圆心为K，且边AB和BC分别交于点M、N，点K关于直线MN的对称点为L，求证：BL⊥AC。 专题（二）几个重要定理 1 基础知识 （1）梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，且有奇数个点在边的延长线上，则P、Q、R共线的充要条件是。 （2）塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，且有偶数个点在边的延长线上，则AP、BQ、CR共点或互相平行的充要条件是。 （3）托勒密(Ptolemy)定理 圆内接四边形ABCD的两对边乘积之和等于其对角线乘积。即：ABCD+BCDA=ACBD。 （逆定理也成立） （4）西姆松(Simson)定理（西姆松线） 在凸四边形ABPC中，若D、E、F分别是点P在△ABC的BC、