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张角定理 在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。 分角定理 在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。如图，已知△ABC中，两内角的平分线BD=CE。求证：AB=AC。证法①：（斯坦纳原证) 如图1，假设ABAC．　　则∠BEC∠BDC (1)　　在△BCE与△CBD中， ∵BD=CE，　　BC公共，∠BCE∠CBD，　　∴BECD．　　作平行四边形BDCF，连接EF．　　∵BECD=BF．∴∠1∠2．　　∵CE=BD=CF ．∴∠3=∠4．　　∴∠BEC∠BFC=∠BDC (2)　　(1)与(2)矛盾．∴AB≯AC．　　同理AC≯AB．故 AB=AC． 证法②：(海塞证法，德国数学家（L.O.Hesse,1811-1874）) 作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC ∵BD=EC， ∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF. 设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β， ∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β); ∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180°-2β-α=180°-(α+β); ∴∠FBC=∠CDF， ∵2α+2β180°, ∴α+β90°， ∴∠FBC=∠CDF90° ∴过C点作FB的垂线和过F点作CD的垂线必都在FB和CD的延长线上. 设垂足分别为G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD，∴CG=FH,BC=FD 连接CF，∵CF=FC,FH=CG，∴Rt△CGF≌△FHC（HL），∴FG=CH, 又∵BG=DH,∴BF=CD, 又∵BF=BE,∴CD=BE，∵BE=CD,BC=CB,EC=DB,∴△BEC≌△CDB，∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC. 证法③ 设二角的一半分别为α、β sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β, ∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0 →sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0 →sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0 →sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0 ，∴sin[(α-β)/2]=0 ∴α=β,∴AB=AC. 证法④ 用张角定理： 2cosα/BE=1/BC+1/AB 2cosβ/CD=1/BC+1/AC 若αβ 可推出ABAC矛盾！ 若αβ 可推出AB AC矛盾！ 所以AB=AC 证明一 过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.则 证毕 过点C作CP∥DF交AB于P，则 两式相乘得 证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分别连FE、FD、BP、CP.易证P、B、D、F和P、F、C、E分别共圆，（四点共圆） 在PBDF圆内，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圆内∠ABP+∠ACP =180度， ∴∠DFP=∠ACP ①，在PFCE圆内 ∠PFE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠DFP+∠PFE=180° 　④ 即D、F、E共线. 反之，当D、F、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于 BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、L、P、N和 P、M、C、 L分别四点共圆，有 ∠NBP = ∠NLP = ∠MLP= ∠MCP. 故A、B、P、C四点共圆。 若A、P、B、C四点共圆，则 ∠NBP= ∠MCP。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB， 有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆，有 ∠NBP = ∠NLP = ∠MCP = ∠MLP. 故L、M、N三点共线。 蝴蝶定理 方法一（霍纳证法） 证：过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T， 连接ON，OM，OS，SL，ST， 容易证明△ESD∽△CSF， ∴ES/CS=ED/FC， 根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2， ∴ES/CS=EL/CT， 又∵∠E=∠C， ∴△ESL∽△CST， ∴∠SLN=∠STM， ∵S是AB的中点所以OS⊥AB， ∴∠OSN=∠OLN=90°， 取OM中点X， 在Rt△MTO和△OSM中， TX