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微积分发展史 微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和 应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 我国的微积分思想萌芽 公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子?天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是我国较早出现的极限思想。 西方的微积分思想萌芽 安提芬的“穷竭法”。他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。之后，阿基米德借助穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。 十七世纪微积分的酝酿 第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题 意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)中发展了系统的不可分量方法。卡瓦列里认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成．他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”．卡瓦列里建立了一条关于这些不可分量的普遍原理，后以“卡瓦列里原理”著称 笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方圆有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。 德国天文学家、数学家开普勒的无限小元法。 17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。 微积分的创立 牛顿的“流数术” 牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。就在此时，牛顿首创了小○记号表示x的无限小且最终趋于零的增量． 1665年11月发明“正流数术”(微分法)，次年5月又建立了“反流数术”(积分法)．1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》著称 ,是历史上第一篇系统的微积分文献 . 莱布尼茨的微积分 在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉 莱布尼茨通常假设曲线z通过原点，这就将求积问题化成了反切线问题，即：为了求出在纵坐标为y的曲线下的面积，只需求出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜率为．如果是在区间上，由上的面积减去上的面积 : 十八世纪微积分的发展 从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔在其论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理。 伯努利兄弟雅各布和约翰，他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容。其中，约翰给出了求未定式极限的一个定理，这个定理后由约翰的学生罗比达编入其微积分著作《无穷小分析》，现在通称为罗比达法则。 1715年数学家泰勒在著作《正的和反的增量方法》中陈述了他获得的著名定理，即现在以他的名字命名的泰勒定理。后来麦克劳林重新得到泰勒公式的特殊情况，现代微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒级数称为“麦克劳林”级数。 18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元函数而建立了偏导数理论和多重积分理论。这方面的贡献主要应归功于尼古拉·伯努利、欧拉和拉格朗日等数学家。 微积分中注入严密性 微积分学中的许多概念都没有精确的定义，特别是对微积分的基础—无穷小概念的解释不明确，在运算中时而为零，时而非零，出现了逻辑上的困境。 18世纪的时候，欧陆数学家们力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难，这方面的主要代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格朗日。 达朗贝尔定性地给出了极限的定义，并将它作为微积分的基础，他认为微分运算“仅仅在于从代数上确定我们已通过线段来表达的比的极限” ；欧拉提出了关于无限小的不同阶零的理论；拉格朗日也承认微积分可以在极限理论的基础上建立起来，但他主张用泰勒级数来定义导数,并由此给出我们现在所谓的拉哥朗日中值定理。欧拉和拉格朗日在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格化提供了合理内核。 19世纪分析的严密性真正有影响的先驱则是伟大的法国数学家柯西.柯西关于分析基础的最具代表性的著作是他的《分析教程》，《无穷小计算教程》