03解非线性方程的迭代法讲解.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * k xk xk xk f(xk) 0 1 2 3 4 1.5 1.34783 1.32520 1.32472 0.6 17.9 发散 0.6 -1.384 1.140625 -0.656643 1.36181 0.1866 1.32628 0.00667 1.32472 0.0000086 四、重根情形 k xk (1) (2) (3) 0 1 2 3 x0 x1 x2 x3 1.5 1.458333333 1.436607143 1.425497619 1.5 1.416666667 1.414215686 1.414213562 1.5 1.411764706 1.414211438 1.414213562 §5 弦截法 k xk 0 1 2 3 4 0.5 0.6 0.56532 0.56709 0.56714 §6 解非线性方程组的迭代法 k x (k) 0 1 2 3 (1.5, 1.0)T (1.5, 0.75)T (1.488095, 0.755952)T (1.488034, 0.755983)T * * * * * * * * * * * * * * * §1 方程求根与二分法 解非线性方程的迭代法 一、引言 非线性方程的分两类： 则可用有哪些信誉好的足球投注网站法求有根区间. x ?1 0 1 2 f(x)的符号 ? ? + + 求根问题的三个方面：存在性，分布，精确化。 二、二分法 二分法简述. 二分法 k ak bk xk f(xk)符号 0 1 2 3 4 5 6 1.0 1.25 1.3125 1.3203 1.5 1.375 1.3438 1.3281 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 ? + ? + + ? ? §2 迭代法 一、不动点迭代 几何意义 k xk 0 1 2 3 4 5 6 7 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472 二、不动点的存在性与迭代法的收敛性 迭代法的收敛定理 （2）对任意初值x0?[a,b]由迭代公式 产生的序列 必收敛于方程的根 ； 则有 定理1.（全局收敛定理）设方程 ，如果满足 （3）存在常数0L1,使对任意 （1）迭代函数 在区间[a,b]上可导； （2）当x?[a,b]时， ； （1）方程 在区间[a,b]上有唯一的根 ； （3）误差估计 证明： 由于 上连续，作辅助函数 故由连续函数的介值定理知，至少存在 又设 即 有唯一的根。 (1) 先证方程根的存在性。 ，即 是方程 的根。 故由拉格朗日中值定理知， （2）由拉格朗日中值定理,有 因 其中ξ介于 之间，故有 （3）由 证毕 迭代法的局部收敛定理 迭代法的全局收敛性定理给出的是区间[a,b]上的收敛性，称之为全局收敛性，一般不易验证，并且在较大的隔根区间上此定理的条件不一定成立，而只能在根的一个较小的邻域内成立。下面给出局部收敛定理： 则对于任意的初值x0?S，迭代公式 产生的序列 必收敛于方程的根 。 定理2.（局部收敛定理）设 是方程 的根，若满足： （1）迭代函数 在 的邻域可导； （2）在 的某个邻域 ，对于任意x?S，有 当x?S，即 时，由Lagrange中值定理有 将前述定理1中的[a,b]取为 ，则只需证明 即可。 其中?在x与x*之间，即??S。 证明： 证毕 故 Remark2：可以证明，若在根 的邻域中 ，则可以以邻域内任何一点 为初始值，用迭代过程产生的序列就一定不会收敛于 。事实上， Remark3：当 不取在 的邻域内时可能不收敛。 Remark1：全局与局部收敛定理中的条件都是充分 条件，条件满足则迭