结构振动理论第八讲分解.ppt

作业: 5.3, 5.6 * 多自由度线性系统的振动 5.3 多自由度无阻尼系统振动分析—自由振动 无阻尼系统的自由振动分析包括固有模态分析和自由振动响应分析。无阻尼系统的自由振动方程的一般形式为： k 4k k m1 m2 x1 x2 为了更加清楚地说明多自由度系统的固有模态分析方法，仍以下图所示二自由度振动系统为例。前面已得出其自由振动微分方程为： 固有模态分析：确定多自由度系统的固有频率和相应的固有(主)振型。 多自由度线性系统的振动 由微分方程理论，假设以上方程的解为： 代入振动方程得： (b) (a) 多自由度线性系统的振动 合并矩阵对应项： 上式为关于b1、b2 的齐次代数方程，b1、b2 有非零解的条件(零解对应静止)： 上式称为振动系统的特征方程。等号左端的行列式又称为系统的特征行列式，其展开式称为系统的特征多项式。由特征方程可解出ω，得两个根(按规定由小到大顺序排序)： 这是该二自由度系统的两个固有振动频率，分别称为第一阶固有频率和第二阶固有频率。 (c) 多自由度线性系统的振动 则系统对应于第一阶固有频率的解是 这里b11、b21是系统按固有频率ω1振动时，两个自由度x1、 x2 (即质量块m1、m2)的振幅，它们组成系统按固有频率ω1振动时的形态，称为系统的固有振型(主振型)，对应于第一阶固有频率ω1的固有振型又叫第一阶固有振型。相应于ω2振动时的形态叫做第二阶固有振型。 其对应振动称为主振动(也称固有模态振动)。 将上式回代系统原方程可得 多自由度线性系统的振动 将ω1、 ω2 分别代入原方程, 可解得B1、B2的元素相对比值 即系统的固有振型可由各个自由度上位移振幅的比来描述。 系统的第一阶主振动： 同理可得系统的第二阶主振动： 多自由度线性系统的振动 二自由度无阻尼系统的两个固有模态振动仅是可能存在的运动形式。欲使系统真正产生这样的运动，应满足一定的运动初始条件。由固有模态振动的解形式： 这说明：为使系统产生第r个固有振动，系统的初始位移、初始速度必须与该阶固有振型成上式给定的比例关系。这一点不同于单自由度无阻尼系统的固有振动(简谐的)。如果二自由度系统的初始条件不能满足上式，其自由振动则总是两个固有振动的线性组合。 则产生第r个固有振动的初始条件是： 多自由度线性系统的振动 比如上例，可以将两个固有振型写成 在本算例已求出，r1=1，r2= -1，从而系统两个固有振型为(见右下图) k 4k k m m x1 x2 则原系统的自由振动通解为 则自由振动响应为： 代入初始条件： 解得 自由振动响应为 多自由度线性系统的振动 此时响应为两个固有简谐振动的叠加，但已非周期(频率比会得无理数的简谐振动叠加)。 多自由度线性系统的振动 一般多自由度无阻尼系统的固有模态分析 N自由度无阻尼系统的自由振动方程 假设方程的解为 代入振动方程可得 令 上式改写成 这是一个数学上的广义特征值问题，由此解出其N个特征值?i(i=1,2,3,…..N)，就可得到系统N个固有频率pi(i=1,2,3,…..N)。而相应的N个特征向量{Xi}，就是系统的N个固有振型。 多自由度线性系统的振动 或 实际求解时，利用矩阵的对称性，可用矩阵三角分解的方法。 对于标准特征值问题和广义特征值问题的数值求解，可用现成的程序计算其特征值和特征向量。 可以将广义特征值问题化为标准特征值问题，用标准方法求解： 如果仍用特征多项式的值为零来求解 p，当自由度数较大时，从计算上讲是不现实的，需要另找求解途径。 多自由度线性系统的振动 固有振型的正交性 固有振型的正交性是无阻尼系统固有振型的一个非常重要的性质，它表现互异固有频率所对应固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交。用数学语言表示为： 分别为第i阶固有频率及相应固有振型 设 分别为第j阶固有频率及相应固有振型 固有频率和振型满足振动方程 多自由度线性系统的振动 (1) (2) 分别得到 (2)式前乘 (1)式前乘 (3) (4) 由于质量阵、刚度阵的对称性， (3)式转置后得到 (5) (5)式与(4)式相减： 因为 代入(5)式： 所以 (6) 固有振型的正交性，保证了各阶模态运动的独立性，无阻尼系统的各阶固有振动间的能量是不耦合的。 分别代入原方程 多自由度线性系统的振动 由式 (5)显然有 当 i=j 时，式 (6)恒成立 记： 称为第i阶模态质量 称为第i阶模态刚度 有了固有振型矩阵，相应的固有振型正交性可表示为： 如果将各阶固有振型按列排列成矩阵形式，则有 称为固有振型矩阵 多自由度线性系统的振动 广义质量(阵)，广义刚度(阵)定义: 设任意特征向量