结构振动理论第二讲分解.ppt

* 自由度：用来描述振动系统运动状态的最少位移(坐标)数目。 自由振动：系统受初始扰动(初始位移与初始速度)后，仅靠弹性恢复力维持的振动。 若不计阻尼，系统的自由振动是等幅的简谐振动，它是振动的一种最基本的形态，简称谐振动。 第二章 单自由度系统自由振动 若考虑阻尼时，振动系统的运动可能呈现两种形式，振动与非振动;只有阻尼低于临界阻尼时，系统才会发生自由振动;有阻尼自由振动的振幅是按指数规律衰减。 单自由度系统自由振动 单自由度系统自由振动 2.1 单自由度系统自由振动 通解 x=Bsinpt+Dcospt 振动方程：（１建立坐标系，２受力分析，３牛顿第二定律建立平衡方程） 二阶常系数线性齐次常微分方程 假定初始条件： 可得自由振动响应公式： 记： m 无阻尼单自由度系统 x0 k m x o 简谐振动的三要素：振幅、频率、相位(初相角) 自由振动的特征方程 单自由度无阻尼系统的自由振动微分方程为: 该方程的解结构为 , 代入上式有 这个以s为变量的 代数方程 称为原微分方程的特征方程。 显然该特征方程的解为 即为系统的固有圆频率，固有频率为 单自由度系统自由振动 根据以上特征根，就可以得到原方程的2个特征解 及 由此可以构造微分方程的通解为 利用欧拉公式： 同样可以得到如下结构的通解： 同理利用初始条件可以得到用三角正弦函数表示的解： 单自由度系统自由振动 式中X1 ,X2为任意常数,因x为实数,故X1, X2必为共轭复数 称为固有振动圆频率 (单位：弧度/秒 rad/s) 自由振动响应： 振幅 初相角 谐振动重复一次所需的时间，称为固有周期 (单位：秒 s) 固有频率：单位时间内振动重复的次数 (单位：赫兹 Hz) 单自由度系统自由振动 单自由度系统自由振动 简谐振动的三要素：振幅、频率、相位 固有频率：自由振动的频率仅决定于系统惯性与弹性，是系统的固有振动特性 常力对振动方程的影响 静变形 当以质量的静平衡位置为原点时，可以不考虑常力和由其产生的弹簧静变形的影响。常力对系统的固有振动特性没有影响。 以静平衡位置为坐标原点 F x k m X o 单自由度系统自由振动 2.2 能量法 无阻尼系统自由振动中任一时刻的机械能为常值,机械能守恒。 无阻尼系统的机械能 说明无阻尼系统的机械能在振动过程中不耗散，为一常数。 t x(t) A -A 0 T 初位移 振动响应图示 由机械能守恒，有如下两个应用： 由 1、求出运动方程： 由 2、求固有频率 单自由度系统自由振动 假设 则 因此有 有常力作用的机械能： 得 单自由度系统自由振动 例题: 下图所示的是用于测定低频振动振幅的传感器中的一个元件(无定向摆)。刚杆OA长为l铰支在O点, A端固定一小球，重为W。靠刚度系数为k的弹簧支撑在铅垂面内，弹簧离O点的距离是a。求摆在铅垂面内维持稳定的微幅振动的条件和它的固有频率。略去刚杆和弹簧的质量。 解： 这是一个单自由度系统，取摆振角 来描述系统位移形态。 小球的速度是 则它的动能是： 小球下降的距离是 依小幅振动假设，弹簧伸长量是 则系统的势能是 总机械能是 有振动微分方程 : 于是系统的固有频率是 系统的固有频率才是实数，这就是稳定振动的条件。 单自由度系统自由振动 2.3 单自由度系统的等效处理 (1)单自由度扭摆系统 假定盘和轴都为均质体，扭盘为刚性，求系统的自由扭摆振动的固有频率。 a)刚度的等效处理（按振动的变形模式进行等效） 设扭矩T作用在盘面，此时圆盘产生一角位移，根据材料力学可知 式中G为剪切模量；I为截面极惯性矩， 定义轴的扭转刚度为 d为轴的直径。 单自由度系统自由振动 b)惯性项的等效处理（按动能等效进行折算） 刚性圆盘的转动惯量为J;单位长度轴的转动惯量为u,总J1=ul 取轴的静扭转变形模式作为假设振动模式，则轴上任意一个微元的动能为 ,轴的总动能为 因此系统的总动能 (2) 简支梁横向振动 假设系统的质量全部等效集中在梁的中部,且假定为me,取梁的中部挠度 为系统的位移 则 为梁截面的抗弯刚度 定义简支梁等效刚度 则系统的自由振动方程为: 振动固有频率为: 需要注意的是，me不是梁的总质量，它可以通过梁上各点位移关系和动能等效的原则获得。 单自由度系统自由振动 *