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分类讨论思想及解题应用 [关键词] 分类讨论 解题分析 数学思想方法 解题策略 初中数学[文摘] 数学思想方法是解题的灵魂，拟通过具体例子介绍几种常见的分类讨论题型及解题策略． 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a0、a＝0、a0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax2时分a0、a＝0和a0三种情况讨论。这称为含参型。 那么，怎样才能使学生掌握好初中数学中的分类讨论思想呢？ 首先应明确分类讨论的动因与讨论的方法，分类时要条理分明，做到分类讨论既不重复也无遗漏。这是解答初中数学中分类讨论问题的基本方法。在解题时，要抓住分类讨论的动因，明确分类讨论的方法。运用分类讨论方法解题的关键就是思辨清楚讨论的动因与讨论的方法，就是为什么要讨论？怎样讨论？思路清了，解题的框架确定了，解题就严密完整、叙述就条理分明。 三、 分类讨论思想解题应用的类型。 1由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论。 在教学中，要让学生对涉及到分类讨论思想的概念有正确的认知、理解和牢固的掌握。 首先，教师应对初中数学中的概念有全面、系统、完整的认识，尤其是涉及到分类讨论思想的概念。在初中数学中的一些概念中，有许多概念涉及到分类讨论思想，作为一名初中数学教师更应对这些概念有正确、深入、透彻的理解，在讲授这些概念时要准确、科学，不能含糊不清或图一时的省力而随意篡改这些概念。 曾听说过这样一个事例：某教师在讲授绝对值这一概念时，图一时的省力，教学生求一个数的绝对值只要把绝对值里面的负号去掉就可以了，如：|3|=3；|-0.5|=0.5；……。 结果出现了象｜a｜=a这样的错解。究其原因，该教师没讲清绝对值这一概念，让学生对这一概念的有了一个错误的认识：求绝对值只要去掉绝对值里面的负号。把学生引入歧途，害人不浅。实际上，绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要讲清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。学生自然而然的会得出绝对值的三种分类讨论情况，也就是: a ( a0) |a| = 0 ( a = 0 ) -a ( a0 ) 该教师讲授的绝对值的概念非但错误，而且也抹杀了学生的创新精神和探索精神。所以，教师对概念的讲解必须准确、科学，特别是涉及到有关分类讨论思想的概念，要让学生对这样的概念有正确的认识、理解。 其次，使学生牢固掌握初中数学中有关涉及到分类讨论思想的概念。要达到这一目的可以采用讨论式归纳出概念、教师加以归纳精炼和增加变式训练的教学方法。 2由于问题的题设和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论。 例如： 求函数y=(k-1)x2+kx+1与x轴的交点坐标。 本题的条件是不唯一的，该函数是什么函数？问题中没有说明。有几种可能情况呢？两种：一次函数或二次函数。所以要分为二类：(1) 当此函数为一次函数时，k=1，求得与x轴交点为(-1，0) ；(2) 当此函数为二次函数时，k≠1，△=(k-2)2 ，①△0，即k≠2时，有两个交点(-l，0) 、(1/(1-k) ，0) ；②△=0，即k=2时，有一个交点(-1，0) ；③△0，即(k-2)20，不存在k的取值。综合以上分类解题过程，得出本题的正确答案为：k=1时，与x轴交点为(-1，0) ；k≠1且k≠2时，与x轴交点为(-1、0) 、(1/(1-k) ，0) ；k=2时，与x轴交点为(-1，0) 。 又如： 如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有____个。 本题的题设和结论也是不唯一确定的，显然，符合条件的旋转中心必在边CD上，可以这样分类：(1) 绕点C旋转，有一解；(2) 绕点D旋转，有一解；(3) 绕CD上异于C、D的点旋转，只能是CD的中点。这样就得出了本题的正确答案：有3个。 由以上两例，我们知道解此类问题的关键是审清题意。审题是解题的重要一环，在教学中应强调审题的重要性。教师在讲解例题时，应作出认真审题的示范并要求学生养成认真审题的习惯。学生解此类问题的错误往住是由于不细心审题，没有弄清已知条件或未知结论中的不定因素而急于解题所造成。只有审清了题意，全面、系统的考虑问题，把握住了问题中的不定因素和不定因素的各种可能情况，就可以确定出分类的框架，分类时也能做到标准一致，条理清楚，解答此类问题就不易造成重复或漏解。