(创新设计2015高考数学苏教理一轮题组训练：8-7立体几何中的向量方法二.docVIP

第7讲　 立体几何中的向量方法(二) ——求空间角 基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题 1．平面α的一个法向量为n＝(1，－，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为________． 2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________． 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________． 4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为________． 5．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________． 6. 过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是________． 7．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为________． 8．已知O点为空间直角坐标系的原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是________． 二、解答题 9．(2013·江苏卷)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，ABAC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值． 10. (2014·广州质检)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE. (1)证明：BD平面PAC； (2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值． 能力提升题组(建议用时：25分钟) 一、填空题 1. 如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点．则AD与GF所成的角的余弦值为________． 2．在四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________． 3．在正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________． 二、解答题 4．(2013·北京卷改编)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求证：AA1平面ABC； (2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值； (3)在线段BC1上是否存在点D，使得ADA1B？若存在，试求出的值． 7讲　 立体几何中的向量方法(二) ——求空间角参考答案 基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题 1．解析　y轴的方向向量为m＝(0,1,0)，设y轴与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|，cos〈m，n〉＝＝＝－，sin θ＝，θ＝.答案　 2. 解析　以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，则D(0,0,0)，N，M，A1(1,0,1)， ＝，1＝，·＝1×0＋1×＋×1＝0， ⊥，A1M与DN所成的角的大小是90°.答案　90° 3．解析　以A为原点建系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，＝(0,1，－1)，＝. 设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)， 则∴n1＝(1,2,2)， 平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，cos〈n1，n2〉＝＝，故锐二面角的余弦值为.答案　 4．解析　 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N. 设M(x，y，z)， 点M在AC1上且＝， (x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z) x＝a，y＝，z＝.得M， ||＝ ＝a.答案　a 5．解析　以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)． 设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n，n，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)． 设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.答案　 6. 解析　法一　建立如图1所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，