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北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*--------------- 课程编号 课程名称：数学分析 课程类型：数、统/必修课 每周3学时，3学分 先修要求：高等数学（两学期） 基本目的： 实数与权限的理论、函数的可积性、函数列与函数级数一致收敛性的基本知识。 培养学生的抽象思维和推理能力，加深学生对微积分的理论基础的了解，为进一步学习后续数学课程作必要的理论准备。 内容提要： 一.实数与极限的理论 1.从自然数到有理数简介。 2.实数的定义（戴德金分割）。 3.实数的性质。 4.确界存在定理，区间套定理，聚点。 5.紧性定理（序列紧，有限覆盖，一致连续）。 6.完备性（哥西基本列，实数的另一种定义）。 7.上极限与下极限。 　 二.函数的可积性 达布和，上积分与下积分。 函数可积分的充要条件。 北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*--------------- 三.函数列与函数级数的一致收敛性 一致收敛性及其判别法。 一致收敛函数列极限函数的性质。 教学方式：课堂讲授 教材或参考书： 1.教　材：?数学分析?（双学位）讲义 伍胜健 2.参考书：?数学分析简明教程?　邓东皋等　　 高等教育出版社 课程编号 课程名称：实变函数课程类型：数、统/必修课 每周2学时，2学分 先修课程：高等数学、线性代数 基本目的： 1.熟悉欧氏空间中Lebesgue 测度，Lebesgue 积分的基本理论。 2.掌握L2（Rn） 空间理论。 3.熟悉Hilbert空间，Banach空间的基本理论。 内容提要： 1.Lebesgue测度与Lebesgue 积分： Lebesgue 可测集，可测函数，Lebesgue 积分， Lebesgue积分的极限定理。 2.L2（Rn）空间： L2 空间的基本理论 教学方式：课堂讲授 教 材： 《实变函数与泛函分析》郭懋正 北京大学出版 学生成绩评定方法： 平时作业15分，期中考试25分， 期末考试60分。 北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*--------------- 课程编号 课程名称：概率论课程类型：数、统/必修课 每周4+1学时，5学分　　　　　　　　　　　　　　 先修要求：微积分，线性代数（或相当高等数学）基本目的：　　1. 本课程的目的是引导学生学习用数学的语言，来刻划，表达与抽象随机现象。着重在随机现象的建模。同时，这一课程也使学生对已学过的集合论，微积分，高等代数等数学知识的有运用的机会，在提高学生分析问题，解决问题的能力方面是一个很好操练机会。　　2. 重点放在随机现象的刻划，形成概率空间的概念。例如在概率空间这一部份，重在由等可能性分析过到一般的概率空间。对随机变量，重点也在要学生掌握它的统计特征的刻划方法。对于古典概型不宜过多陷于排列组合的计算技巧。 内容提要：　　1. 古典概型、等可能分析到概率的公理化　　　1) 有限等可能性分析。　　　2) 几何概型。　　　3) 事件的集合表达，事件运算与集合运算的对应。　　　4) 概率的加法公式。　　　5) 样本空间及其上的概率公理。　　　6) 条件概率（对正概率事件的条件概率）与全概公式。　　　7) 独立性。 北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*--------------- 2.随机变量 1) 离散型随机变量及其取值机会的描述。　　 2) 连续型随机变量及其取值机会的描述。　　 3) 分布函数。　　 4) 随机变量函数的分布（简单情形）。 5) 随机变量定义的抽象。 3.N维随机变量（向量）1) n元随机变量统计特征的刻划。2) 联合分布与边缘分布。3) 独立性。4) 随机变量函数的分布（多维）。5) n元正态分布。6) 条件分布。7) 次序统计量。 4.随机变量的数字特征1) 期望（概率加权平均概念的抽象）。2) 随机变量函数的期望公式。3) 方差、协方差与相关系数。4) 条件期望。 5.母函数、特征函数及极限定理 1) 大数定律与切比雪夫不等式，强大数律（结果与概念）。北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*--------------- 2) 中心极限定理。 6.概率论的应用例题选讲　　　　可在以下内容中选讲，也可由主讲教师自选材料讲授，其 目的主要是用来展示与训练概率论的基本概念与思想的运用：　　　 1） 随机游动。　　　 2） 泊松流与简单服务系统的呼唤流。　　　 3） 信息量的建模与应用。教学方式：课堂教学教 材： 《 概率与统计》 陈