(北京大学数学考研真题.docVIP

北京大学2005 1设，试求和. 解: 当然此上极限可以 令. 此下极限当然可以 令 (1)设在开区间可微，且在有界。证明在一致连续. 证明: 由存在 . 这显然就是 (2) 设在开区间可微且一致连续，试问在是否一定有界。（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明） 证明:否定回答. 闭区间上连续函数一致连续.所以 显然此而 3．设. (1)求的麦克劳林展开式。 (2)求。 解: 这道题目要是直接展开是很麻烦的.先对原式做一下变形.有 . 又由于 比较系数有：，接下来，若 中 ，此时令 有。 同理可得：， 。综合得： 4．试作出定义在中的一个函数，使得它在原点处同时满足以下三个条件： （1）的两个偏导数都存在；（2）任何方向极限都存在；（3）原点不连续 解： 。显然这个函数在 的时候，有偏导数存在 ，而对于的时候，有 ，此式在原点也成立。 对于任意方向极限，有。显然沿任意方向趋于原点。 此函数的方向极限都存在。最后，因为沿不同方向趋向原点。不妨设有不同的极限 。且其都不为0。所以该函数在原点不连续。 5．计算.其中是球面与平面的交线。 解：首先，曲线是球面与平面的交线。因为平面过原点，球面中心为原点。 所以它们的交线是该球面上的极大圆。再由坐标的对称性。易知有 。 因此有 ===。 6．设函数列满足下列条件：（1），在连续且有（） （2）点点收敛于上的连续函数 证明：在上一致收敛于 证法1：首先，因为对任意。且有，所以，对于任意，有。 又因为在点连续。所以可以找到，当 时。有，以及 同时成立。因此，当， 时，有 。 如此，令，所以有开区间族 覆盖了区间。 而在闭区间上连续。由Heine-Borel 定理，从开区间族中可以选出有限个， 使 。由的选法。可由相应与，当，且时，有。 取，当时，且，有 成立。所以在上一致收敛于。 证毕。 证法2：反证法.设存在某，对于任意，有一，使得．又有界，由Bolzano-Weierstrass定理，所以其必存在 　　　　　收敛子列收敛于中某值．因为对任意。 且有，所以，当时，有． 设某，由与连续性．存在一，当时 　　　　　有同时成立．显然，又因为．所以存在值， ． 　　　　　当时， 成立．最后，当时，有 　　　　　＜．这与假设矛盾． 　　　　　所以在上，是一致收敛于．证毕．