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第四章波形估计（最佳线性估计、滤波） 参量估计－静态估计－随机参量，非随机参量 波形估计－动态估计－随机过程 线性滤波理论是用来估计信号的波形或系统的状态 最佳估计－仅当高斯随机过程的特殊情况 线性最佳估计，最佳线性滤波－最小方差准则 最佳线性滤波要解决的问题：给定有用信号与加性噪声混合的信号波形，寻求作用于此混合波形的一种线性运算，得到的结果将是信号与噪声的最佳分离。 最佳－使估计的均方误差最小。 ☆维纳滤波(Wiener Filtering)-1940 平稳随机过程的最佳线性滤波，必需存储所用到的全部数据，计算量太大，不适于实时处理。 卡尔曼滤波(Kalman Filtering)-1960 将状态变量引入滤波理论，利用递推算法，便于实时处理，并可处理非平稳随机过程。 §4－1、线性变换与正交原理 线性变换 估值为观测信号的线性变换，故可写成： 式中算子表示线性变换，估计准则是线性最小均方误差 因此，定义误差： 希望导出估计准则，使下列均方误差最小： 由于变换是线性的，则对于所有的常数a1,a2和过程Z1(t)和Z2(t)有： 若和是两个线性变换，即： 则其差的变换也是线性变换，即： 将(4-5)和(4-6)代到(4-7)式中，即可证明，对于线性变换有: 式中算子表示数学期望。 若X(t)在区间[ti,tf]对所有的ξ与Z(ξ)正交，即： 则对于Z(ξ)的任何线性变换，在区间ξ∽[ti,tf]对X(t)也正交。若L[Z(ξ)]是Z(ξ)的线性变换，因为线性变换和期望是可以交换的，故有： 二、正交原理 线性变换是最小均方误差估值，当且仅当误差e(t) 在区间ξ∽[ti,tf]对Z(ξ)正交。 证明：假若所有过程Z(t)=Y(t)+V(t)是实的、平稳的。考虑线性变换，对所有ξ，,于是均方误差是最小，则 是最佳估值，且 考虑线性变换，对所有ξ，,则误差对所有ξ与数据Z(ξ)正交，即： 误差e1(t)可用 e2(t)表示，如 由式(4-7) 差的变换也是线性变换。将式(4-14)代入式(4-12)，由最佳估值，线性均方误差变成： 因为e2(t)对数据Z(ξ)正交，也就对L[Z(ξ)]正交，如方程(4-9)所示，于是 则最小均方误差简化为： 其中为估计值的均方误差。因此 当且仅当非负值为零，即： 这就证明了上述正交原理；对于误差与数据正交，线性变换导致最小均方误差线性估计值，反之亦然。 维纳滤波器的推导可以用正交原理的方法，也可采用其他的方法，如变分法等。 §4－2维纳滤波（平稳随机过程的最佳线性滤波） 滤波的条件及要求： ⑴有用信号s(t)是随机过程＋加性噪声n(t)—输入x(t) 并假设s(t),n(t)是联合宽平稳的，具有已知的自相关函数和互相关函数（或对应的谱密度函数）； ⑵滤波器是线性时不变的h(t)—H(ω) ⑶输出是宽平稳的，即稳态滤波的含义。理论上可认为输入信号x(t)是在t=-∞时加入的，因此，在任何有限时刻t，输出y(t)是宽平稳的。 ⑷选取滤波器的h(t)H(ω)，使估计的均方误差最小。 ?0－平滑，?=0－滤波、去噪，?0－预测。 滤波器的理想输出为s(t+?)，估计的误差为： e(t)=s(t+?)-y(t)—(4-20) 用变分法： 估计误差的平方为： 而 代入上式，两边取数学期望，得到均方误差： 式中：Rs-s(t)的自相关函数 Rx-x(t)=s(t)+n(t)的自相关函数 Rs,x-s(t)和x(t)之间的互相关函数 若信号s(t)和噪声n(t)不相关，且噪声均值为零，即E[n(t)]=0，则有： 维纳滤波就是要求出(4-23)式中的h(u)，使得 最小，为此可以利用变分法求解。令冲击响应为： h(u)+?.?(u)—(4-25) h(u)—最佳冲击响应 ? (u)—任意扰动函数 ?--小的扰动因子 当?--0，冲击响应--h(u)最佳冲击响应。 于是我们可以将式(4-25)代入(4-23)式中，则有： 容易看出是?的函数，当?=0时取最小值，故可求 改写积分变量后，可得： 下面分别就物理不可实现（非因果）和物理可实现（因果）的两种情况，来讨论此式的求解问题。 物理不可实现（非因果）维纳滤波器 所谓非因果的维纳滤波器，是指不仅要利用过去的数据也要求利用未来的数据，故只可用于事后的数据分析，不适合实时处理。(4-29)式表明对均没有任何限制。故(4-28)式唯一可能的解，就是式中方括号[ ]内的项为零，即： 此为弗雷德霍姆(Fredholm)第一类方程，积分区间为(-?,+?),两端求双边拉氏变换得： 式中故有： 当信号与噪声不相关（统计独立）时，由(4-24)式得： 代入得非因果维纳滤波器的传输函数： 容