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留数的计算方法 摘 要：本文介绍了常见的几类的留数的计算方法.并通过实例加以阐析. 关键词：留数;极点;零点 The Calculation of the Residue Abstract: This paper presents several commonly solving methods of residue. Based on examples, these solving methods are stated and analyzed. Key Words: Residue; Poles; Zero-point 引言 由留数定理得知，计算函数沿的积分，可归结为计算围线内各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗级数中的负一次幂系数，也就是说，不必完全求出罗朗级数就可以完全确定该点的留数. 下面介绍求留数的几种常用方法，， 1. 有限远点留数的计算方法 留数定理把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数.在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若为的可去奇点 则在内的罗朗展开式中不含负幂项，从而，故当为的可去奇点时， (1.1) 1.2 若为的一阶极点 (1)第一种情形： 若为的一阶极点，则在内的罗朗展开式为　　　　　　　　　 显然，故当为的一阶极点时， （1.2） (2)第二种情形： 若为的一阶极点，且，则 . (1.3) 1. 3 若为的阶极点 则 . （1.4） 一般来讲,公式(1.4)适合计算级数较低的函数的极点的留数.如果极点的级数较高时,计算可能比较复杂,此时可根据具体情况改用其他方法计算留数. 1.4 当为的本性奇点时 几乎没有什么简捷方法，因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式的方法或计算积分的方法来求． 1.5 有限远点留数计算典型实例 例 1.5.1 求． 解　容易知道是函数的一阶极点，所以 . 本题也可用上述方法 设，取，，显然，满足方法1.2中(2)的条件，所以 . 例 1.5.2 求函数 在处的留数. 解 由于是分母的一级零点,且分子在时不为零,因此, 是的一级极点.由公式(1.2)可以得到 . 由于是分母的二级零点,且分子在时不为零,因此, 是的二级极点.由公式(1.4)得 =. 例 1.5.3 求函数在处的留数. 解 因为以为一级零点,而,因此以为一级极点.由公式(1.3)得 . 例1.5.4 求函数在处的留数. 解 是的本性奇点,因为 , 所以相乘后级数的系数为 于是 2. 无限远点处的留数计算方法 2.1 无穷远点留数定义或留数和定理 定义2.1.1[3] 设点为函数的一个孤立奇点,即在内解析,则称积分值为在点的留数,记作 . 其中,C为圆周,的方向是顺时针的. 设在内的洛朗展式为 上式两端同乘,沿逐项积分,并根据定义1，有 . (2.1) 即在点的留数等于它在领域的洛朗展式中负一次幂的系数的相反数. 这里需要指出的是,当为的有限可去奇点时,必然有;但是,如果是的可去奇点时,则不一定有. 如 ,在是的可去奇点;但. 例 2.1.1 求函数在点处的留数. 解 函数 以及为一阶极点，而为本性奇点 又 所以 ． 关于函数在有限孤立奇点和无穷远点留数之间的关系,有如下定理. 定理2.1.1 若 ，则 . (2.2) 证明 由条件，故可设在的去心邻域的洛朗级数 因此 ． 公式(2.2)在计算留数时是非常有用的.如果已知函数在所有有限孤立奇点的留数之和,由式(2.2)即可知道函数在无穷远点留数;反之如果知道了函数在无穷远点的留数,则函数在所有有限孤立奇点的留数之和便可以求出.当函数的有限孤立奇点较多时,其留数之和计算比较复杂时,通过求函数在无穷远点的留数来求其在所有有限孤立奇点的历史之和是非常方便的. 另外,我们还可以先计算出比较容易计算的函数的部分孤立奇点的留数,然后用公式(2.2)求出比较难计算的另一部分孤立奇点的留数之和. 结束