[直线与二次曲线位置.docVIP

直线与圆锥曲线 知识梳理： 直线与圆锥曲线的位置关系的判定——联立法 设直线l:y=kx+m与圆锥曲线C:F(x,y)=0联立 得到关于x的一元二次方程：。 直线截圆锥曲线的弦长公式： 其中； 。可由韦达定理求得。 中点弦问题 直线和曲线相交时的弦的中点或弦中点的轨迹方程可以用韦达定理解决，以直线和双曲线为例说明：设直线l:y=kx+b与双曲线，相交于两点A(,),B(,),线段AB中点为M（,）， 则＝，＝＝k+b 设而不求法（点差法） 以直线和双曲线为例说明： 设直线l:y=kx+b与双曲线相交于两点A(,),B(,),线段AB中点为M（,）,则由于A(,),B(,)在双曲线上 则……（1） ……（2） （2）－（1）得， 即 所以k= 再结合点M在l上，点M的坐标适合l的方程，便可求得M的坐标，通常将此方法用于求弦的中点的轨迹问题。 与向量交汇: 例题分析 题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 无论m为任何实数，直线l:y=x+m与双曲线C：恒有公共点。 （1）求双曲线C的离心率e的取值范围； （2）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足，求曲线C的方程。 练习：已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（。 求双曲线C的方程； 若直线l:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，且（其中O为原点），求k的取值范围。 题型二：弦长问题 例2．（1）已知l与椭圆交于A,B两点，弦中点坐标为（），则直线l的斜率为 ，弦长= . ( 2 )（06四川）抛物线C:上存在关于直线对称的两点A,B，则弦长= 练习：（辽宁卷文21）在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为． （Ⅰ）写出C的方程； （Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？ 解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点， 长半轴为2的椭圆．它的短半轴， 故曲线C的方程为． 4分 （Ⅱ）设，其坐标满足 消去y并整理得， 故． 6分 ，即．而， 于是． 所以时，，故． 8分 当时，，． ， 而， 所以． 例2.设直线L:y=x+m与椭圆相交于A,B两点，且L过椭圆C的右焦点，若以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点，求椭圆C的方程。 点拨：解此题的关键在于把题设中的以AB为直径的圆过左焦点，转化为含有的等式，最后用韦达定理求解。 例3：已知直线x+y-1＝0与椭圆，相交于A,B两点，M是线段AB上的一点，且有,且点M在直线L:上。 求椭圆的离心率 若椭圆的焦点关于直线L的对称点在单位圆上，求椭圆方程。 例4：（09四川）已知椭圆的左右焦点为离心率 右准线方程为x=2。 求椭圆的标准方程； 过点的直线与椭圆交于M,N两点，且,求直线L的方程。 例5：双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴，两条渐近线经过右焦点F作垂直与的直线分别交为A，B两点，又已知该曲线的2离心率 求证：，， 依次成等差数列。 若求直线AB在双曲线上所截得弦CD的长度。 练习题：（第5，6题第（2）问供参练） 过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦AB， 那么弦AB的长度为： 2. 动直线L的倾斜角为，若直线L与抛物线交于A,B两点，且A,B两点的纵坐标之和为2，则抛物线方程为 3. 设双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则面积为 4.（08辽宁）在xoy系中，点P到两点的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A,B两点 （1）求C的轨迹方程； （2）若OAOB求k的值 （3）若点A在第一象限，证明：当k0时，恒有? 5.(10全国)已知斜率为1的直线L与双曲线相交于B,D两点，且BD的中点为M（1，3） （1）求C的离心率； （2）设C的右顶点为A，右焦点F， ,证明：过A,B,D 三点的圆与x轴相切。 6.（10年全国卷1）已知抛物线C:的焦点为F，过点K(-1,0)的直线L与C相交于A,B两点，点A关于X轴的对称点为D。 (1)证明：点