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§8.4　直线、平面平行的判定与性质 2014高考会这样考　1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定；2.解答题中证明或探索空间的平行关系． 复习备考要这样做　1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全而失分；2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”． 1．直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝? aα，b α， a∥b a∥α a∥α，aβ， α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝? a∥b 2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝? aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，aβ 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α [难点正本　疑点清源] 1．证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行．但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内． 2．在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用． 3．辅助线(面)是解(证)线面平行的关键．为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线(面)． 1．已知不重合的直线a，b和平面α， ①若a∥α，bα，则a∥b； ②若a∥α，b∥α，则a∥b； ③若a∥b，bα，则a∥α； ④若a∥b，a∥α，则b∥α或bα. 上面命题中正确的是________(填序号)． 答案　④ 解析　①若a∥α，bα，则a，b平行或异面；②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交、异面都有可能；③若a∥b，bα，则a∥α或aα. 2．已知α、β是不同的两个平面，直线aα，直线bβ，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的____________条件． 答案　必要不充分 解析　∵a与b没有公共点，不能推出α∥β， 而α∥β时，a与b一定没有公共点， 即pD?/q，q?p，∴p是q的必要不充分条件． 3．已知平面α∥平面β，直线aα，有下列命题： ①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直． 其中真命题的序号是________． 答案　② 解析　因为α∥β，aα，所以a∥β，在平面β内存在无数条直线与直线a平行，但不是所有直线都与直线a平行，故命题②为真命题，命题①为假命题．在平面β内存在无数条直线与直线a垂直，故命题③为假命题． 4．(2011·浙江)若直线l不平行于平面α，且lα，则 (　　) A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交 答案　B 解析　由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的． 5．(2012·四川)下列命题正确的是 (　　) A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 答案　C 解析　利用线面位置关系的判定和性质解答． A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交； B错误，△ABC的三个顶点中，A、B在α的同侧，而点C在α的另一侧，且AB平行于α，此时可有A、B、C三点到平面α的距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C. 题型一　直线与平面平行的判定与性质 例1　正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE. 思维启迪：证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质． 证明　方法一　 如图所示． 作PM∥AB交BE于M， 作QN∥AB交BC于N， 连接MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD. 又AP＝DQ，∴PE＝QB， 又PM∥AB∥QN，∴＝＝＝， ∴＝， ∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形， ∴PQ∥MN. 又MN平面BCE，PQ?平面BCE， ∴PQ∥平面BCE. 方法二　 如图，连接AQ，并延长交BC延长线于K，连接EK， ∵AE＝BD，AP＝DQ， ∴PE＝BQ，∴＝， 又AD∥BK，∴＝， ∴＝，∴PQ