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直线和圆的位置关系·引入情境 木工师傅要在如图24-2-11的三角形木板中裁出一个最大的圆形木板，请你帮他想出一个如何裁剪的方法． 数学宫殿 1．直线和圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离，如图24-2-12． 当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；当直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫切点；当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 （1）直线l和⊙O相交d＜r； （2）直线l和⊙O相切d＝r； （3）直线l和⊙O相离d＞r． 提醒1．直线和圆的位置关系可类比点与圆的位置关系去理解． 2．直线和圆的位置关系如下表： 直线和圆位置 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 圆心到直线距 离与半径r的关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 【例1】已知Rt△ABC的斜边AB＝10 cm，AC＝6 cm，如图24-2-13所示． （1）以点C为圆心，当半径为多长时AB与⊙O相切? （2）以点C为圆心，分别以5 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系? 分析根据圆心到直线的距离d＜r，直线与圆相交；d＝r，直线与圆相切；d＞r，直线与圆相离，确定d与r的大小关系即可确定直线与圆的位置关系． 解（1）过点C作CD⊥AB于D，如图24-2-13所示， ∵AC＝6 cm，AB＝10 cm，∴由勾股定理得BC＝（cm） ∵S△ABC＝BC·AC＝AB·CD 即×8×6＝×10×CD，∴CD＝4.8（cm） ∴当半径为4.8 cm时，AB与⊙O相切 （2）由（1）知，圆心C到AB的距离d＝4.8 cm ∴当r＝5 cm时，d＜r，⊙C与AB相交 当r＝4 cm时，d＞r，⊙C与AB相离 点评1．判断直线与圆的位置关系的关键是判断圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系． 2．通过面积过渡，可以方便地由直角边的长求出Rt△斜边上的高，要熟练地掌握这种方法． 2．切线的判定和性质 （1）切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【例2】如图24-2-14，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°．求证：DC是⊙O的切线． 分析由题可知DC与⊙O有公共点C，根据切线判定定理，应证明DC⊥OC． 证明连OC、BC． ∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠A＝30° ∴∠1＝∠A＋∠OCA＝30°＋30°＝60° 而OC＝OB ∴△OCB为等边三角形，∴CB＝OB ∵BD＝OB，∴CB＝BO＝BD ∴∠OCD＝90°，又DC过半径OC外端 ∴DC是⊙O切线 提醒当已知直线与圆有公共点，要证明直线与圆相切时，可先连结圆心与公共点，再证明连线垂直于直线．这是证明切线的一种方法． （2）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 【例3】如图24-2-15，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB． 分析CD是⊙O的切线，连结OC，则OC⊥CD．连结圆心与切点是解决切线问题时常用的辅助线． 证明连结OC． CD是⊙O的切线 ． ∴AC平分∠DAB． 注意在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径． 3．切线长定理 （1）切线长概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 【例4】已知：如图24-2-16，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点．直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C． （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形； （3）如果PA＝4 cm，PD＝2 cm，求半径OA的长． 分析（1）由切线性质定理知，OA⊥PA、OB⊥PB；由切线长定理知，PA＝PB，OP平分∠APB，于是PC⊥AB； （2）由（1）知有三对； （3）抓Rt△OAP，运用勾股定理建立方程求解． 解（1）OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB （2）△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB，△ACP≌△BCP （3）设OA＝x cm 在Rt△OAP中，OA＝x cm，OP＝OD＋PD＝x＋2（cm） PA＝4 cm，由勾股定理，得PA2＋OA2＝OP2 即42＋x2＝（x＋2）2整理，得x＝3 cm，所以，半径OA的长为3 cm 提醒1．在图24-2-16中，由切线长定理和等腰三角形性质得到PC⊥AB于C，这是一个基本图形中的基本关系，应掌握． 2．（3）问中，不能由勾股定理直接求出半径长，应注意运用设