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直线和抛物线的位置关系 一、课标要求 1．熟悉直线与抛物线的位置关系．2．掌握直线与抛物线位置关系的判定方法、弦长公式、焦点弦等． 二、要点精讲 1．直线与抛物线的位置关系的判定 (1) 相交：①直线与抛物线交于两个不同点判别式； ②直线与抛物线交于一点，直线平行于抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴重合． (2) 相切. (3) 相离． 2．有关弦长问题 (1)一般弦长公式：设直线交双曲线于，，则 ， 或． (2)焦点弦长问题 若AB为抛物线的一条过焦点F的弦，，， 则弦长 三、基础自测 1.抛物线截直线所得弦长等于（ ） (A) (B) (C) (D) 15 2．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于，，若x1+x2=6,则|AB|的值为（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D) 12 3．过点P(0, 2)且与抛物线y2=2px(p0)只有一个公共点的直线有（ ） (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 选C.点P(0, 2)在抛物线外部，故过P点可作两条切线，另y=2与对称轴平行，故选C. 4.（09宁夏海南）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________. 5．抛物线的弦AB垂直于x轴，若|AB| =，则焦点到AB的距离为 ． 6．过定点M(4,0)作直线l交抛物线于A,B两点，F是抛物线的焦点，求△FAB面积的最小值． 四、典例精析 题型一：直线与抛物线的交点问题 1、当为何值时，直线与抛物线只有一个公共点？ 2、求过点P(0 ,1)且与抛物线只有一个公共点的直线方程． 3．（2013浙江）设为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点 ,点为线段的中点,若,则直线的斜率等于________. 解：设直线l的方程为y=k(x+1)，联立消去y得k2x2+(2k2?4)x+k2=0，由韦达定理，xA+ xB =?，于是xQ==，把xQ带入y=k(x+1)，得到yQ=，根据|FQ|=，解出k=±1． 4.（2012北京）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点. 其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60o.则△OAF的面积为 解：由可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为，所以直线的斜率为， 利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立， 因此． 5．（2013大纲）已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与 交于两点,若,则 B． C． D． 解：由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)， 将其代入y2＝8x， 得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4.① 由 ∵，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0， 即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④由①②③④解得k＝2.故选D. 的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且． （1）求该抛物线的方程； （2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值． 7、（2010福建)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 解　(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2. 故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由得y2＋2y－2t＝0. 因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－. 另一方面，由直线OA与l的距离d＝，可得＝，解得t＝±1.t＝1舍掉） 所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0. 8、已知AB是抛物线的焦点弦，F为抛物线焦点，、， 求证：⑴； ⑵（为直线AB的倾斜角）；⑶； ⑷为定值； ⑸以为直径的圆与抛物线准线相切. 证明：⑴ ⑵ 若 时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径, 若时,设直线L的方程为：即 代入抛物线方程得由韦达定理 由弦长公式得 ⑷证：过A点作AR垂直X轴于点