[直线的参数方程及其应用学案.docVIP

直线的参数方程及应用 目标点击： 掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 基础知识点击： 直线参数方程的标准式 (1)过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程是 （t为参数）t的几何意义：t表示有向线段的数量，P() P0P=t ∣P0P∣=t 为直线上任意一点. (2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2， 则P1P2=t2－t1 ∣P1P2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3 则P1P2中点P3的参数为t3＝,∣P0P3∣= (4)若P0为P1P2的中点，则t1＋t2＝0，t1·t20 直线参数方程的一般式 过点P0()，斜率为的直线的参数方程是 （t为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程. 设点P()是直线上任意一点，（规定向上的 方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过 P0作x轴的平行线，两条直线相交于Q点. 1)当与直线同方向或P0和P重合时， P0P＝|P0P| 则P0Q＝P0Pcos Q P＝P0Psin 2)当与直线反方向时，P0P、P0Q、Q P同时改变符号 P0P＝－|P0P| P0Q＝P0Pcos Q P＝P0Psin 仍成立 设P0P＝t，t为参数， 又∵P0Q＝， ＝tcos Q P＝ ∴ =t sin 即是所求的直线的参数方程 ∵P0P＝t，t为参数，t的几何意义是：有向直线上从已知点P0()到点 P()的有向线段的数量，且|P0P|＝|t| 当t0时，点P在点P0的上方； 当t＝0时，点P与点P0重合； 当t0时，点P在点P0的下方； 特别地，若直线的倾斜角＝0时，直线的参数方程为 当t0时，点P在点P0的右侧； 当t＝0时，点P与点P0重合； 当t0时，点P在点P0的左侧； 问题2：直线上的点与对应的参数t是不是一 对应关系？ 我们把直线看作是实数轴， 以直线向上的方向为正方向，以定点P0 为原点，以原坐标系的单位长为单位长， 这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了 一一对应关系. 问题3：P1、P2为直线上两点所对应的参数分别为t1、t2 ， 则P1P2＝？，∣P1P2∣=？ P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，∣P1P2∣=∣ t2－t1∣ 问题4：若P0为直线上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的 参数分别为t1、t2 ，则t1、t2之间有何关系？ 根据直线参数方程t的几何意义， P1P＝t1，P2P＝t2，∵P0为直线 上两点P1、P2的中点，∴|P1P|＝|P2P| P1P＝－P2P，即t1＝－t2, t1t20 一般地，若P1、P2、P3是直线上的点， 所对应的参数分别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点 则t3＝ （∵P1P3＝－P2P3, 根据直线参数方程t的几何意义， ∴P1P3= t3－t1, P2P3= t3－t2, ∴t3－t1=－(t3－t2,) ） 基础知识点拨： 1、参数方程与普通方程的互化 例1：化直线的普通方程＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t∣的几何意义. 解：令y=0,得＝1，∴直线过定点(1,0). k＝－=－ 设倾斜角为，tg=－,= , cos =－, sin= 的参数方程为 （t为参数） t是直线上定点M0（1，0）到t对应的点M()的有向线段的数量.由 (1)、(2)两式平方相加,得 ∣t∣＝∣t∣是定点M0（1，0）到t对应的点M()的有向线段的长. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义. 例2：化直线的参数方程（t为参数）为普通方