量子力学2波函数与薛定格方程详解.ppt

* * 微观粒子的状态可用波函数来描写, 而 波函数随时间的演化遵从薛定格方程: 一、物理背景与简化近似: §3、一维无限深势阱 简化近似： x ) ( x U 0 U 势阱深度 一维有限 深势阱 物理背景： ) ( x U 金 属 体 0 U 势阱深度 金属中 自由电 子的势 能曲线 x x ￥ ? 0 U 势阱深度 一维 无限 深势 阱 U r ) ( r U 原子核 0 U 势阱深度 原子核中 质子的势 能曲线 物理背景 简化近似 一维无限深势阱的势能函数 a x x U = 0 0 ) ( a x x x U ￥ = 或 0 ) ( 势阱宽度 a = 二、一维无限深势阱的定态 薛定格方程： 势阱中粒子的经 典力学能量关系 m P E x 2 2 = 应用前面 得到的物 理启示 2 2 2 2 2 x p p x x ? ? - o T ù h ) ( d (x) d 2 2 2 2 x E x m ? = ? - h 其定态薛定格 方程可写为： 边界条件 0 ) ( = ? x 时 a x x 3 ￡ , 0 x ￥ ? 0 U 势阱深度 势能曲线 U a 0 Ⅰ 区 0 3 = ? 0 1 = ? Ⅱ 区 Ⅲ 区 三、一维无限深势阱问题的解： 1、方程的通解： 2 2 2 k mE = h 0 d d 2 2 2 = + y y k x ) sin( ) ( j y + = kx A x 令 : 2 、确定常数 f 势阱无限深所以阱外有： y ( x) = 0 （ x ￡ 0 x 3 a ） 由波函数 连续性， 边界条件 ： y (0) = 0 y ( a) = 0 j = 0 y ( 0 ) = Asin j = 0 x= 0 处有 ka =n p F ( a)= Asinka =0 n = 1 . 2 . 3 …… n = 0 ? 注意到在 x = a 处有 3 、能量本征值 E 的确定 ： 2 2 2 k mE = h ka =n p 2 2 2 2 2 ma n E E n h p = = n = 1 . 2 . 3 …… 一维无限深势阱中运动的微观粒的能量只能取分立值。 其中 n --- 被称为量子数。 能量的不连续这一结论 并不用出自于普朗克假设。 它是量子力学的自然结果。 基态能量 1 0 ---- 波动性。 2 2 2 1 2 ma E h p = kx A x ? sin ) ( = 1 d ) ( 2 0 = ò x x ? a n a A 2 = 1 2 2 = a A 4 、确定能量本征波函数 ： ka =n p x a n A x ? n p sin ) ( = 2 2 2 2 2 ma n E n h p = 对应于 能量本征值 为 的 本征波函数 。 5 、由归一化条件确定系数 A ： 归一化 条件为 1 ) ( 2 - = ? ò +￥ ￥ dx x n ? ( x) = 0 （ x ￡ 0 x 3 a ） 1 sin 2 0 = ò dx x a n A a p x a n A x ? n p sin ) ( = a 2 （ 0 x a ） 一维无限深势 阱定态薛定格方 程全部解完。 6 、一维无限深势阱问题小结： 1 ）一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度 n = 1 n = 2 n = 3 a 2 2 2 1 2 ma E h p = 2 n n ? w = 1 2 4 E E = 1 w 2 w 3 w 1 3 9 E E = 0 x n E x a a ? p sin 2 1 = x a a ? p 2 sin 2 2 = x a a ? p 3 sin 2 3 = n ? 0 x n E a h t E i n n n e x ? t x - = Y ) ( ) , ( t i n e x a n a pn p 2 ) sin( 2 - = 驻波 ？ A)考虑 时间因子 是沿 x 轴正向、负向传播的波，形成 驻波 。 两端为波节。只有某些波长的波才能形成驻波。 n 的取值不同 , 能量不同，腹的数目不同。波腹的 数目等于 n 的数目。 a 为半波长的整数倍 . i e e i i 2 sin q q q - - = 2 ）讨论