量子力学第二章详解.ppt

第二章 波函数与Schr?dinger 方程 “微观粒子既是粒子也是波” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。 如何描述粒子的行为？ §2.1 波函数的统计解释 自由粒子 与自由粒子联系的频率? 和波矢 k 也为常量 E和p为常量 de Broglie关系 单色平面波 经典波： 量子力学: 描述自由粒子的波函数 de Broglie 关系： ? = E/? k = p/? 问题:? 描写的是什么样的波呢？ 非自由粒子 动量和能量不再是常量 粒子在随时间和位置变化的力场中运动 粒子的状态就不能用平面波描述，而必须采用较复杂的波函数，一般记为： 两种典型的错误看法 1. 波由粒子组成 这种看法与实验相矛盾！ 因为如果波是由它所描写的粒子组成，则粒子流的干涉现象应当是由于组成波的这些粒子的相互作用而形成的。 即认为描述粒子的波是由大量粒子在空间形成象水波、声波一样的疏密波 Ψ S1 S2 粒子源 感光屏 冷原子的双缝干涉 这说明粒子的波动性（干涉）并不是许多粒子在空间叠加在一起时才出现的现象。单个电子就具有波动性。 粒子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上逐渐呈现出干涉图案。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。 2. 粒子是某种物质波包 假如微观粒子是de Broglie波的某种波包，则 相速度 即认为描述粒子的波是由无限多波长不同的平面波迭加而成的波包 群速度 相速度?粒子运动速度 群速度= 粒子运动速度 意味着de Broglie波会扩散，或形象地说，经过足够长时间后，粒子会长胖！ 实验上观测到的粒子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 ? 。 波函数的意义 Ψ S1 S2 粒子源 感光屏 粒子一个一个的通过小孔 r 处的光强: 短时间 较长时间 波函数?是描述粒子状态的函数,波函数在某一点处的强度(模平方)正比于该点处找到粒子的概率！ 量子力学基本原理(统计解释): 1924年Born提出了波函数的统计解释 波函数统计解释 ? 描写粒子的波是几率波，波的强度反映在空间某处找到粒子的几率的大小，因此,波函数又称为几率幅。 以 表示在 r 处的体积元 中找到粒子的概率，则有 称为几率密度 可见，? (r , t ) 和 C? (r , t )所描写状态的相对概率是相同的,因此,它们描述粒子的同一状态，意味着波函数有一常数因子不定性。 波函数的归一化 C=constant 考虑两个波函数: ? (r , t ) C? (r , t ) 在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是： 对于一个粒子而言,尽管不知道它会出现在何处,但知道它总会在空间中出现,或者说粒子在全空间出现的几率等于 1 . 满足该式的波函数称之为归一化波函数 若描述某个粒子的波函数?不满足归一化条件，即 归一化过程具体步骤： 令 因此,描述粒子的同一状态 只差一个常数因子 注意：对归一化波函数仍有一个相因子不定性，因为下列两波函数的模相同: 1/C称为归一化常数 例题: 考虑一维运动的粒子，其波函数为 试将其进行归一化并求出归一化常数. 解: 由归一化条件，有