量子力学复习详解.ppt

选定力学量 表象， 算符的正交归一的本征函数完备系记为 讨论 1． 是厄米矩阵 Prove： 显而易见，对角矩阵元为实数 可见，算符 在Q表象中是一个矩阵 ，其矩阵元为 即 是厄米矩阵。 * 2．力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵。 4.2 算符的矩阵表示（续4） * * 3.量子力学公式的矩阵表示形式 1．归一化条件 4.3 量子力学公式的矩阵表示 2、平均值公式 4.3 量子力学公式的矩阵表示（续1） 其中　　　　　 为算符　 的矩阵元 在 表象中： （续7） 4.3 量子力学公式的矩阵表示（续 4.3 量子力学公式的矩阵表示（续3） 3、本征值方程 在Q表象中，其矩阵形式为： （1） 移项得： 4.3 量子力学公式的矩阵表示（续4） （m = 1，2，3……） （2） 此式即为线性齐次方程组： 非零解的条件是系数行列式等于0，即久期方程： 4.3 量子力学公式的矩阵表示（续5） 求出本征值 将每个 值分别代入矩阵方程（1）或（2），求出　　　　　　　　, 即得本征函数 这样变解微分方程为解代数方程。 4.3 量子力学公式的矩阵表示（续6） 4、薛定格方程 在Q表象中，其矩阵形式为： 4.3 量子力学公式的矩阵表示（续16） 简写为： 其中 简写为： 其中 4.3 量子力学公式的矩阵表示（续17） * 4.会用矩阵表示形式做简单计算 Ex. 已知在 和 的共同表象中，算符 和 的矩阵分别为 求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵 和 对角化。 本征方程为 Solve: 设 的本征值为 ,本征波函数为 4.3 量子力学公式的矩阵表示（续7） 要使本征波函数不为零，亦即要求a,b,c不全为零，其条件是（1）中的系数矩阵的行列式为零。 （1） 久期方程 本征值 4.3 量子力学公式的矩阵表示（续8） * 5.非简并情况下厄密算符本征函数的正交性 * 本征函数的正交性 属于厄米算符 的不同本征值的本征函数相互正交。 Prove: 解得 本征值方程 力学量算符 的本征值方程： 本征值：F1，F2，F3 ……组成本征值谱 本征函数： ……组成本函数系 厄米算符的本征值为实数 * 由厄米算符的定义： 时 当 有 当 时 有 正交性 归 一 可见函数系 构成一正交归一函数系。 3.5 厄密算符本征函数的正交性（续１） * 6.简并情况下厄密算符本征函数的正交性 * 前面的讨论假定本征值所属的本征函数均不相等，若 的本征值 是 度简并的，则属于 的本征函数有 个： 且 此意谓着:一般情况下这f 个函数不正交，但可由它们重新进行线性组合 仍是 属于本征值 的本征函数 * 正交归一化条件 此共有 个确定的 关系式，但 的个数 ，故可以有许多种方法选择 ，使函数 满足上述正交归一化条件式。 综合上述讨论可作如下结论：厄密算符的本征函数总可取为正交归一化的，并可构成正交归一完备函数系。 3.5 厄密算符本征函数的正交性（续５） * 7.力学量测量值与力学量算符本征值的关系 * 力学量测量值与力学量算符本征值的关系 设 为力学量算符 本征值： （本征值谱) 本征函数： （正交归一完全函数系） 当体系处于 的本征态 时， 表示的力学量有确定值，该值就是 在 态中的本征值 ，即 （1） 将 写成 当体系不是处于 的本征态，而是处于任一个态 ，这时与它所表示的力学量之间的关系如何？ * 基本假设 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。当体系处于波函数 所描写的状态时，测量力学量 所得的数值，必定是算符 的本征值之一，测得值为其本征值 的几率是 3.6 算符与力学量的关系（续２） * 8.力学量平均值 * 的本征值： 本征函数： 正交归一条件 设 为任一波函数，且 证明二式相等 * 求在能量本征态 下，动量和动能的平均值 EX１ Solve 3.6 算符与力学量的关系（续５） * 在能量本征态下测量到的动能平均值等于该态所对应的能量本征值 3.6 算符与力学量的关系（续６） * 8. 若算符 和 具有共同的本征函数完全系，则 和 必对易。 * 定理 prove: 设 是 和 的共同本征函数完全系，