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2013版高三数学一轮复习学案：第十一章 计数原理、概率、 随机变量及其分布 【知识特点】 1．本章是高中数学中相对独立的一部分，概念性强、灵活性强、思维方法独特； 2．本章内容应用性强，与实际问题联系密切，读不懂题意、题意理解错误往往是解不出题的原因。 【重点关注】 1．排列、组合问题及随机变量的分布列、期望、方差是必考的内容。准确确定随机变量的取值，准确计算概率是求分布列的基础，在复习过程中要多角度地加大训练力度。 2．在解题过程中要注意“分类讨论”“正难则反”的思想。 【地位与作用】 1．计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。在本章中，将复习到计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。 2．概率是描述随机事件发生可能性大小的量度，它已经渗透到人们的日常生活中，例如：彩票的中奖率，产品的合格率，天气预报、台风预报等都离不开概率。概率在整个高中数学中占有重要地位，在整个高考考试中也占据着重要的地位。 3．对本章而言，高考中主要以选择、填空或解答题的形式考查，属于中、低档题。重点考查的是两个计数原理、古典概型、离散型随机变量的分布列及其期望、方差等，预计本章在今后的高考中仍将在计数原理、古典概型、几何模型及随机变量的分布列等处命题。 11．1 计数原理 【高考目标导航】 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1．考纲点击 （1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理； （2）全用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。 2．热点提示 （1）主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理及分类讨论思想； （2）对两个原理的考查一般在选择、填空题中出现。 二、排列与组合 1．考纲点击 （1）理解排列、组合的概念； （2）能利用计数原理推导排列数公式、组合公式； （3）能解决简单的实际问题。 2．热点提示 （1）排列、组合问题每年必考； （2）以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力； （3）以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查。 三、二项式定理 1．考纲点击 （1）能用计数原理证明二项式定理； （2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 2．热点提示 （1）本节内容中高考热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数n等； （2）以选择、填空题的形式考查，属于低档题。 【考纲知识梳理】 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2方案中有n种不同的方法。那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。 注：在解题过程中，如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理。 二、排列与组合 排列与排列数 组合与组合数 定义 1．排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2．排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 1．组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 2．组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 公式 排列数公式 组合数公式 性质 （1） （2） 备注 注：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题。 三、二项式定理 1．二项式定理 公式叫做二项式定理。其中叫做二项式系数。叫做二项展开式的通项，它表示第项。 注：在公式中，交换的顺序从整体看，相同，但具体到某一项是不同的，如第项。 2．二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即。 （2）增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的。 当是偶数时，中间的一项取得最大值； 当是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值。 （3）各二项式系数的和 的展开式的各个二项式系数的和等于，即。 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于