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用几种不同的方法求定积分作者：何景翔 学号要：在高等数学中，可以使用牛顿莱布尼茨公式来计算积分。但是，在工程技术和科学研究中，常常遇到以下情况：（1）f(x)的结构复杂，求原函数困难。（2）f(x)的原函数不能用初等函数表示。(3)f(x)难以用普通方法求解。我们需要使用不同的方法在Matlab中运行相关程序来解出答案。在本文中，使用的列子为求解。分别使用牛顿-莱布尼茨公式，梯形公式，复化梯形公式，辛普森公式和复化辛普森公式的程序进行计算。并对不同方法所求得的定积分的精度进行比较。关键词：Matlab, 牛顿-莱布尼茨公式，梯形公式，复化梯形公式，辛普森公式,复化辛普森公式，相关程序及运行结果1牛顿-莱布尼茨公式设 f(x)在[a, b] 上连续, 若F(x) 为f(x) 在[a,b] 上的一个原函数, 则这个公式称为牛顿- 莱布尼兹公式, 也称为微分基本公式。 syms x,I=int(cos(x),0,1)I = sin(1) I=sin(1)I =0.8415运行结果：I=0.84152.梯形公式根据积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间[a,b]内存在一点，使得 即所求的曲边梯形的面积恰好等于低为(b-a)、高为的矩形面积。但是点的具体位置一般是未知的，因而得值也是未知的，只要对提供一种数值算法，相应的就获得一种数值求积方法。建立m文件，命名为Tixing.mfunction I=Tixing(x,y)n=length(x);m=length(y);if n~=m error; returnendh=(x(n)-x(1));a=[1 1];I=h/2*sum(a.*y)命令窗口输入： x=0:1;y=cos(x);I=Tixing(x,y)I = 0.7702I = 0.7702运行结果：I=0.77023.辛普森公式辛普森公式建立m文件，命名为Smps.mfunction I=Smps(x,y)n=length(x);m=length(y);if n~=m error; returnendh=(x(n)-x(1)/2);a=[1 4 1];I=h/6*sum(a.*y);命令窗口输入： x=0:0.5:1;y=cos(x);I=Smps(x,y)I = 0.8418运行结果：0.84184.复化梯形公式我们把积分区间[a,b]划分为n等分，步长h=(b-a)/n,求积节点为xk=a+hk(k=0,1,n)，在每个小区间[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上应用梯形公式，求出积分值Ik,然后将它们累加求和，用作为求所求积分I的近似值。即I==。记为复化梯形公式。建立m文件，命名为trapz.mfunction I=trapz(x,y)n=length(x);m=length(y);if n~=m error; return;endh=(x(n)-x(1))/(n-1);a=[1 2*ones(1,n-2) 1];I=h/2*sum(a.*y);在命令窗口输入： x=0:0.5:1;y=cos(x);I=trapz(x,y)I = 0.8239运行结果：0.82395.复化辛普森公式我们把积分区间[a,b]划分为n等份，记子区间[x2k,x2k+2]的中点为x2k+1=x2k+,在每个小的区间上应用辛普森公式 则有：记为复化辛普森公式。建立m文件，命名为S_quad.mfunction I=S_quad(x,y)n=length(x);m=length(y);if n~=m error; return;endif rem(n-1,2)~=0 I=T_quad(x,y); return;endN=(n-1)/2;h=(x(n)-x(1))/N;a=zeros(1,n);for k=1:N a(2*k-1)=a(2*k-1)+1;a(2*k)=a(2*k)+4; a(2*k+1)=a(2*k+1)+1;endI=h/6*sum(a.*y);在命令窗口输入： x=0:0.5:1;y=cos(x);I=S_quad(x,y)I = 0.8418运行结果0.8418算法的结果比较和评价1各种方法的结果比较求值方法牛顿-莱布尼茨公式梯形公式辛普森公式复化梯形公式复化辛普森公式求值结果0.84150.77020.84180.82390.8418误差0.00000.713-0.00030.01760.0003 2.结果比较及算法评价由上表我们可以得知，用牛顿—莱布尼茨公式求得的值误差为0，实际上，我们也知道，用牛顿-莱布尼茨公式求解定积分得值就为精确值。 梯形求积公式和Simpson 求积公式虽然计算简单、使用方便, 但是精度较差,误差较大， 但对于光滑性较