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论数学的本质林夏水.txt12思念是一首诗，让你在普通的日子里读出韵律来；思念是一阵雨，让你在枯燥的日子里湿润起来；思念是一片阳光，让你的阴郁的日子里明朗起来。论数学的本质 林夏水 数学的本质是一个数学认识论问题。不同时代的哲学家和数学家都从认识论角度提出不同的理论和观点。但随着数学的发展又暴露出它们的片面性或局限性，特别是，当计算机引起数学研究方式的变革时，又提出有关数学本质更深层次的问题，从而推动着人们全面而辩证地认识数学的本质。 　 一、数学认识的一般性与特殊性 数学作为对客观事物的一种认识，与其他科学认识一样，其认识的发生和发展过程遵循实践——认识——再实践的认识路线。但是，数学对象（量）的特殊性和抽象性，又产生与其他科学不同的、特有的认识方法和理论形式。由此产生数学认识论的特有问题。 数学认识的一般性 认识论是研究认识的本质以及认识发生、发展一般规律的学说，它涉及认识的来源、感性认识与理性认识的关系、认识的真理性等问题。数学作为对客观事物的一种认识，其认识论也同样需要探讨这些问题；其认识过程，与其他科学认识一样，也必然遵循实践——认识——再实践这一辩证唯物论的认识路线。 事实上，数学史上的许多新学科都是在解决现实问题的实践中产生的。最古老的算术和几何学产生于日常生活、生产中的计数和测量，这已是不争的历史事实。数学家应用已有的数学知识在解决生产和科学技术提出的新的数学问题的过程中，通过试探或试验，发现或创造出解决新问题的具体方法，归纳或概括出新的公式、概念和原理；当新的数学问题积累到一定程度后，便形成数学研究的新问题（对象）类或新领域，产生解决这类新问题的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成一套经验知识。这样，有了新的问题类及其解决问题的新概念、新方法等经验知识后，就标志着一门新的数学分支学科的产生，例如，17世纪的微积分。由此可见，数学知识是通过实践而获得的，表现为一种经验知识的积累。 这时的数学经验知识是零散的感性认识，概念尚不精确，有时甚至导致推理上的矛盾。因此，它需要经过去伪存真、去粗取精的加工制作，以便上升为有条理的、系统的理论知识。 数学知识由经验知识形态上升为理论形态后，数学家又把它应用于实践，解决实践中的问题，在应用中检验理论自身的真理性，并且加以完善和发展。同时，社会实践的发展，又会提出新的数学问题，迫使数学家创造新的方法和思想，产生新的数学经验知识，即新的数学分支学科。由此可见，数学作为一种认识，与其他科学认识一样，遵循着感性具体——理性抽象——理性具体的辩证认识过程。这就是数学认识的一般性。 数学认识的特殊性 科学的区分在于研究对象的特殊性。数学研究对象的特殊性就在于，它是研究事物的量的规定性，而不研究事物的质的规定性；而“量”是抽象地存在于事物之中的，是看不见的，只能用思维来把握，而思维有其自身的逻辑规律。所以数学对象的特殊性决定了数学认识方法的特殊性。这种特殊性表现在数学知识由经验形态上升为理论形态的特有的认识方法——公理法或演绎法，以及由此产生的特有的理论形态——公理系统和形式系统。因此，它不能像自然科学那样仅仅使用观察、归纳和实验的方法，还必须应用演绎法。同时，作为对数学经验知识概括的公理系统，是否正确地反映经验知识呢？数学家解决这个问题与自然科学家不尽相同。特别是，他们不是被动地等待实践的裁决，而是主动地应用形式化方法研究公理系统应该满足的性质：无矛盾性、完全性和公理的独立性。为此，数学家进一步把公理系统抽象为形式系统。因此，演绎法是数学认识特殊性的表现。 二、概括数学本质的尝试 数学认识的一般性表明，数学的感性认识表现为数学知识的经验性质；数学认识的特殊性表明，数学的理性认识表现为数学知识的演绎性质。因此，认识论中关于感性认识与理性认识的关系在数学认识论中表现为数学的经验性与演绎性的关系。所以，认识数学的本质在于认识数学的经验性与演绎性的辩证关系。那么数学哲学史上哲学家是如何论述数学的经验性与演绎性的关系，从而得出他们对数学本质的看法的呢？ 数学哲学史上最早探讨数学本质的是古希腊哲学家柏拉图。他在《理想国》中提出认识的四个阶段，认为数学是处于从感性认识过渡到理性认识的一个阶梯，是一种理智认识。这是柏拉图对数学知识在认识论中的定位，第一次触及数学的本质问题。 17世纪英国经验论哲学家J.洛克在批判R.笛卡尔的天赋观念中建立起他的唯物主义经验论，表述了数学经验论观点。他强调数学知识来源于经验，但又认为属于论证知识的数学不如直觉知识清楚和可靠。 德国哲学家兼数学家莱布尼茨在建立他的唯理论哲学中，阐述了唯理论的数学哲学观。他认为：“全部算术和全部几何学都是天赋的”；数学只要依靠矛盾原则就可以证明全部算术和几何学；数学