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论高数学习体会 摘要：对此次高等数学书籍学习的知识点和知识体系进行总结和心得体会。 关键字：高等数因材施教 （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[g(x)]，称g(x)是比f (x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 3，当x →0时,sin x ~ x，tan x ~ x，arcsin x ~ x，arctan x ~ x cos x ~ 1 x ， ex ?1 ~ x ， ln(1+ x) ~ x 4，求极限的方法 1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则 3．两个重要公式 4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻） 6．洛必达法则 最后就是求极限，这是我们班级与别的班级最大的不同。通过上机实际操作让我们对函数图像有了更深的印象，加快了解决问题的时间。 极限思想是人类认识水平进步的产物。让我们明白无穷逼近而又永远无法达到，不仅是可能的而且是现实的。“无穷逼近”是可知论的思想，“永远达不到”是不可知论的思想。把极限引入哲学，主体理性和存在之间的有限与无限的矛盾变成了充分融合的事实。 （2）、微分学应用。 第二章的微分学和我们高中学的导数有点相似，不过它比高中学习加了很多的层次。以导数的概念，导数就是瞬时变化率，结合极限让我们对微分有了认识。 Y=f(x)在点x=x0处的导数f(X)就是导函数Ⅰf’(x)在X0处的函数值。求导主要是：作差，作商，求极限。F(x)在点x0处可导，记为f’(x0),y’Ⅰx=x0,dy/dxⅠx=x0,df(x)/dxⅠx=x0. 它表示一个变量随某个变量变化时的速度或变化率；例如路程对于时间的导数便是速度。若变量y 随变量x 变化的函数关系记为y=?(x)，则它在一点x处的导数记为y┡=?┡(x),按定义,它是变化量之比的极限： 。 当这个极限存在时,就说函数?(x)在这点x处可导或者可微。 在这一章中除了学习高阶导数还有函数利用导数求极值和最值，最重要的就是隐函数求导包括对数求导法。方法：1、方程两端分别对自变量x求导，注意Y是x的函数，因此把y当作复合函数求导的中间变量。2、从求导后的方程中解出y’。3、隐函数求导允许其结果中含有y，但求某一点处的到数值要把y带入。 (sin x)′ = cos x d sin x = cos xdx (cos x)′ = ?sin x d cos x = ?sin xdx (tan x)′ = sec2 x d tan x = sec2 xdx (cot x)′ = ?csc2 x d cot x = ?csc2 xdx (sec x)′ = sec x tan x d sec x = sec x tan xdx (csc x)′ = ?csc x cot x d csc x = ?csc x cot xdx 2，闭区间上连续函数的性质 在闭区间[a,b]上连续的函数f (x)，有以下几个基本,性质。这些性质以后都要用到。 定理1．（有界定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，则f (x)必在[a,b]上有界。 定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m 。其中最大值M 和最小值m 的定义如下：定义设 f (x ) = M 0 是区间[a,b]上某点0 x 处的函数。 3，对数求导法则 对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y′ 。对数求导法主要用于：①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数 微分中值定理 一．罗尔定理 设函数 f (x)满足 （1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3） f (a) = f (b)则存在ξ ∈(a,b)，使得f ′(ξ ) = 0 二．拉格朗日中值定理 推论1．若f (x)在(a,b)内可导，且f ′(x) ≡ 0，则f (x)在(a,b)内为常数。 推论2．若f (x) ， g(x) 在(a,b) 内皆可导，且f ′(x) ≡ g′(x)，则在(a,b)内f (x) = g(x)+ c，其中c为一个常数。 三．柯西中值定理 四．泰勒定理（泰勒公式） （3）、积分学应用模块。 研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。本来从广义上说，包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积