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(分类讨论思想在高中数学中的应用

分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置. 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面: ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况.这种分类讨论题型可以称为概念型. ② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的.如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型. ③ 解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论.如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论.这称为含参型. 另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性. 进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.其中最重要的一条是“不漏不重”. 解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论. 示范例题 例1. 设0<x<1,a>0且a≠1,比较|log(1-x)|与|log(1+x)|的大小. 【分析】比较对数大小,运用对数函数的单调性,而单调性与底数a有关,所以对底数a分两类情况进行讨论. 【解】∵ 0<x<1???? ∴? 0<1-x<1 ,??? 1+x>1 ①? 当0<a<1时,log(1-x)>0,log(1+x)<0,所以 |log(1-x)|-|log(1+x)|=log(1-x)-[-log(1+x)]=log(1-x)>0; ②? 当a>1时,log(1-x)<0,log(1+x)>0,所以 |log(1-x)|-|log(1+x)|=-log(1-x)-log(1+x)=-log(1-x)>0; 由①、②可知,|log(1-x)|>|log(1+x)|. 【注】本题要求对对数函数y=logx的单调性的两种情况十分熟悉,即当a>1时其是增函数,当0<a<1时其是减函数.去绝对值时要判别符号,用到了函数的单调性;最后差值的符号判断,也用到函数的单调性. 例1属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的,我们解决时按要求进行分类,即题型为概念、性质型. 例. 设函数f(x)=ax-2x+2,对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,求实数a的取值范围. 【分析】含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题,需要先对开口方向讨论,再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论,最后综合得解. 【解】当a>0时,f(x)=a(x-)+2- ∴或 或 ∴ a≥1或<a<1或φ??????? 即 a>; 当a<0时,,解得φ; 当a=0时,f(x)=-2x+2, f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意 由上而得,实数a的取值范围是a> . 【注】本题分两级讨论,先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a=0三种情况,再每种情况结合二次函数的图像,在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种,即在闭区间左边、右边、中间.本题的解答,关键是分析符合条件的二次函数的图像,也可以看成是“数形结合法”的运用. 例. 解不等式>0? (a为常数,a≠-) 【分析】含参数的不等式,参数a决定了2a+1的符号和两根-4a、6a的大小,故对参数a分四种情况a>0、a=0、-<a<0、a<-分别加以讨论. 【解】 2a+1>0时,a>-;??? -4a<6a时,a>0 .?? 所以分以下四种情况讨论: 当a>0时,(x+4a)(x-6a)>0,解得:x<-4a或x>6a; 当a=0时,x>0,解得:x≠0; 当-<a<0时,(x+4a)(x-6a)>0,解得: x<6a或x>-4a; 当a>-时,(x+4a)(x-6a)<0,解得: 6a<x<-4a . 综上所述,当a>0时,x<-4a或x>6a;当a=0时,x≠0;当-<a<0时,x<6a或x>-4a;当a>-时,6a<x<-4a . 【注】本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论,做到不重不漏.一般地,遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果

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