(动态规划算法.doc

动态规划（一）、动态规划的基本思想：????动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。二、设计动态规划法的步骤：1、找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2、递归地定义最优值（写出动态规划方程）；3、以自底向上的方式计算出最优值；4、根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。1-3是动态规划算法的基本步骤。在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略，步骤3中记录的信息也较少；若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4，步骤3中记录的信息必须足够多以便构造最优解。动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质：最优子结构性质和子问题重叠性质。1、最优子结构：当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。2、重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。 设计一个标准的动态规划算法，通常可按以下几个步骤进行： 划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。注意这若干个阶段一定要是有序的或者是可排序的（即无后向性），否则问题就无法用动态规划求解。 选择状态：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。 确定决策并写出状态转移方程：之所以把这两步放在一起，是因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以，如果我们确定了决策，状态转移方程也就写出来了。但事实上，我们常常是反过来做，根据相邻两段的各状态之间的关系来确定决策。 写出规划方程（包括边界条件）：动态规划的基本方程是规划方程的通用形式化表达式。一般说来，只要阶段、状态、决策和状态转移确定了，这一步还是比较简单的。 动态规划的主要难点在于理论上的设计，一旦设计完成，实现部分就会非常简单。根据动态规划的基本方程可以直接递归计算最优值，但是一般将其改为递推计算，实现的大体上的框架如下： 标准动态规划的基本框架frame 1. 对fn+1(xn+1)初始化; {边界条件} 2. for k:=n downto 1 do 3. for 每一个xk∈Xk do 4. for 每一个uk∈Uk(xk) do begin 5. fk(xk):=一个极值; {∞或－∞} 6. xk+1:=Tk(xk,uk); {状态转移方程} 7. t:=φ(fk+1(xk+1),vk(xk,uk)); {基本方程(9)式} 8. if t比fk(xk)更优 then fk(xk):=t; {计算fk(xk)的最优值} end; 9. t:=一个极值; {∞或－∞} 10. for 每一个x1∈X1 do 11. if f1(x1)比t更优 then t:=f1(x1); {按照10式求出最优指标} 12. 输出t; 但是，实际应用当中经常不显式地按照上面步骤设计动态规划，而是按以下几个步骤进行： 分析最优解的性质，并刻划其结构特征。 递归地定义最优值。 以自底向上的方式或自顶向下的记忆化方法（备忘录法）计算出最优值。 根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。 步骤(1)--(3)是动态规划算法的基本步骤。在只需要求出最优值的情形，步骤(4)可以省略，若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤(4)。此时，在步骤(3)中计算最优值时，通常需记录更多