专升本高等数学练习题(学生版)打印..doc

山东专升本高等数学习题解析 朱老师：Email：elitemaths@163.com Tel一、函数、极限与连续 1.求下列函数的定义域: (1) =+ ，(2) =. 解 (1) 由所给函数知,要使函数有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 推得 这两个不等式的公共解为 与 所以函数的定义域为. (2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 推得 即 , 因此，所给函数的定义域为 . 2.设的定义域为，求的定义域. 解：令, 则的定义域为 , （k, k+）, k , 的定义域为 （k, k+）, k . 3.设=，求，. 解： == = (1,0), === (0,1). 4.求下列极限： （1）, （2）, 解：原式= 解: 原式= = =2.（抓大头） = .（恒等变换之后“能代就代”） （3）, （4）, 解：原式= 解：时, = , =. （恒等变换之后“能代就代”） 原式===.（等价） （5）, （ ， 解：原式= 解： 原式= =0 + 100 = 100 （无穷小的性质） ． (7) ． 解 : 原式=．（抓大头） （8） . 解：因为 而，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为，所以当时，是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ． （9）． 解：不能直接运用极限运算法则，因为当时分子，极限不存在，但是有界函数，即而 ，因此当时，为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得 . （10） ． 解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限 原式==．（也可用洛必达法则） （11）. 解一 原式==， 解二 原式==． （12）． 解 ：= = = （） ．（等价替换） 5.求下列极限 （1） （2） （3） （4） （5） 解 ：（1）由于时，，故原极限为型，用洛必达法则 所以 （分母等价无穷小代换） . （2） 此极限为，可直接应用洛必达法则 所以 = . （3） 所求极限为型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成或型. . （4）所求极限为型，得 （型） == （5）此极限为 型，用洛必达法则，得 不存在，因此洛必达法则失效！ 但 . 6.求下列函数的极限： （1）， （2） 当为何值时，在的极限存在. 解： (1), , 因为左极限不等于右极限，所以极限不存在． （2）由于函数在分段点处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点处的左极限与右极限．于是，有 ， ， 为使存在，必须有=， 因此 ，当=1 时， 存在且 =1． 7.讨论函数 ， 在点处的连续性． 解：由于函数在分段点处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点处的左极限与右极限． 因而有， 而即 ， 由函数在一点连续的充要条件知在处连续． 8. 求函数的间断点，并判断其类型： 解：由初等函数在其定义区间上连续知的间断点为. 而在处无定义，故为其可去间断点. 又 为的无穷间断点. 综上得为的可去间断点, 为的无穷间断点. 二、一元函数微分学 1.判断： （1）若曲线=处处有切线，则=必处处可导. 答：命题错误. 如：处处有切线，但在处不可导. （2）若（为常数），试判断下列命题是否正确. ①在点 处可导, ②在点 处连续, ③= . 答：命题①、②、③全正确. (3)若，在点处都不可导，则点处也一定不可导. 答：命题不成立. 如：= = ，在 = 0 处均不可导，但其和函数+= 在= 0 处可导. （4）若在点处可导，在点处不可导，则+在点处一定不可导. 答：命题成立. 原因：若+在处可导，由在处点可导知=[+]在点处也可导，矛盾. （5）与有区别