初二数学竞赛讲座07二次根式的运算解答提示..docVIP

第七讲 二次根式的运算 式子 (≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1) (≥0)； (2) ()； (3) ()； (4)(0)． 同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念． 二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知，则= ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手． 注： 二次根式有如下重要性质： (1)，说明了与、一样都是非负数； (2) (0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化； (3) ，揭示了与绝对值的内在一致性． 著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题． 提示： 【例2】 化简，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题) A． B． C．D． 思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．提示：原式= （C） 【例3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．（1）原式 = （2）原式= （3）考虑一般情形 原式 （4） 【例4】 (1)化简； (北京市竞赛题) (2)计算 (“希望杯”邀请赛试题) (3) 计算． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题) 思路点拨 （1）把4+2万与4—2分别化成一个平方数化简， 原式此外，由于4+2与4—2是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；原式 (2) 原式 (3)通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题． 原式 【例5】 已知，求的值．(山东省竞赛题) 思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为： 即，因此有，得；，得；，得。故。 学历训练 1．如果，那么= ． 2．已知，那么的值为 ． (成都市中考题) 提示：原式 3．计算= ．(天津市选拔赛试题) 原式 4．若 ab≠0，则等式成立的条件是 ．(淄博市中考题) ，即故，因此，∵ ，∴ 5．如果式子 化简的结果为，则x的取值范围是( B ) A．x≤1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x 0 (徐州市中考题) 6．如果式子 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ C ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为( D ) A． B． C． D． 8．已知，那么的值等于（ ） A． B． C． D．3 9．计算： (1)； （2）； （3）； （4） (“希望杯”邀请赛试题) 10．(1)已知与的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值； (2)设，，n为自然数，如果成立，求n． 11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响． （1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由； (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? (供选用数据：，) (贵阳市中考题) 12．已知，，那么= ．(杯全国初中数学联赛题) 13．若有理数x、y、z满足，则= ． (北京市竞赛题) 14．设，其中a为正整数，b在0，1之间，则= ． 15．正数m、n满足，则= ． (北京市竞赛题) 16．化简等于( ) A．5—4 B．4一1 C． 5 D．1 (全国初中数学联赛题) 17．若，则等于( ) (2004年武汉市选拔赛试题) A B． C．1 D．－1 18．若都是