第三章 金属电子论.ppt

（5）电子状态密度分布: 电子填充K空间的最初阶段，状态密度与能量关系与自由电子类似，为抛物线关系（OA段）；当K空间中被占状态球扩大至接近布区时，曲线开始偏离抛物线，能级随K的增加增幅较自由电子小，状态密度增高较抛物线高出较多（AB段）；当被占状态球与布区接触时，状态密度达到最高点B；此后被占状态继续扩大，只能在角落中的分段面中填充，状态密度下降（BC段）；对于一禁带的晶体，当第一布区填满时，状态密度为0（c点）；当第一布区填填满后再填充电子，只能在第二布区中的最低能级中开始填充，状态密度重新开始升高（a’C段）。当能带有重叠时，重叠部分状态密度为两布区状态密度的叠加，禁带消失。 （6）准自由电子的费米面: 金属中的电子自低能级排起，直到全部价电子占据了相应的能级为止。在0K时低于费米能的能级全被电子填满，高于费米能的能级全空着。若εF(0)相对应的波数为kF,对于自由电子，kF半径球体内填满电子，球外能级均空着；这个球称为费米球。对于准自由电子，费米面有些不是球面，而是呈现各种复杂的多面体的外形轮廓。对于简单立方金属，当电子少时，电子排在第一布区原点附近，此时费米面为球面；但当电子逐步增多，电子在K空间的排布已经接近布区边界时，ε-k面已偏离球面而向外凸出，成为一个多面体。在与布区边界相交时，费米面的变形更为显著。 3.4.4 三种常见能带区间图---能区图: 1.扩展模式：不同能带绘于波矢空间中不同的布里渊区内。 2.简约模式：所有的能带都绘入第一布里渊区内。 3.周期模式：在每一个布里渊区都给出所有的能带。 注：简约模式是将第一布里渊区外的E-k线通过周期平移至第一布里渊区内。偶数布里渊区线要跨过能级E轴线，奇数布里渊区线不跨过能级E轴线。 学会如何从简约图中看禁带宽度 能区图--扩展模式（a）和简约模式（b） 能区图—周期模式（c） * * 3.3 周期性势场和布洛赫定律 3.3.1 周期性势场：实际金属中的电子既受到规则排列的原子实正电荷的库仑引力势场和其他价电子的斥力势场迭加而成的周期势场V的作用，还受到表面势垒作用，电子要逸出金属表面需要克服额外的逸出功函数。 处理方法：①晶格原子静止在平衡位置，晶格的振动只作为散射电子的微扰来考虑；②导电时传导电子不仅通过库仑斥力直接相互作用，还通过晶格原子势场的屏蔽效应间接互相影响，为方便处理，近似地把每个电子看作是晶格原子形成的周期性势场和其他电子分布形成的平均势场迭加而成的周期性势场中的独立运动（单电子近似）。 金属中的周期性势场 3.3.2 布洛赫定律：求解具有周期性势场的薛定谔方程的重要方法，其波函数的解必定具有布洛赫函数的形式，在数学表达式上为布洛赫函数与电子平面波函数的迭加。 对布洛赫函数Ψk(x)的理解： Ψk(x)是具有与晶格周期性势场相同的周期函数uk(x)（振幅调制）调制平面波exp(ikx)(自由电子的波函数)而来的一种组合波（调幅波）。Ψk(x)是由分立的波数k来确定的。具体数学表达式是： 3.3.3 克龙尼克—潘纳（Kronig-Penney）模型：一种简单的用布洛赫定律求薛定谔方程的解例子，能定性说明周期性势场中电子运动的情况。 设一维晶体晶格势场为V(x)的宽度为b，周期为a+b，高度为V0的方势阱。此时的薛定谔方程和布洛赫函数为： 克龙尼克—潘纳模型中势阱 则能量ε的本征值可由下式求得： 上式左边数值在[-1,1]之间，根据图解可求得αa的解，而α代表了能量。 克龙尼克—潘纳模型中 能量与波数的关系（P=3π/2) 克龙尼克—潘纳模型结论总结： （1）在cos(ka)=±1，即k=±nπ/a（n为正整数）处出现禁带； （2）随着能量ε增加，α增加，P/(αa)减小，许可带的宽度增加，禁带宽度变窄，当P/(αa)趋于0是，cos(αa)=cos(ka)，逐渐趋于自由电子情形（没有禁带）； （3）当ε减小，P/(αa)增大，禁带宽度增加，许可带宽度减小。当P/(αa)趋于无穷大时，许可带宽度趋于0，电子的能量状态与孤立原子一致。 3.4 准自由电子理论 3.4.1 准自由电子模型假设：电子势能V在各处的数值远小于平均动能。也即，周期性势场随位置的变化较小，可当作微扰来处理。设微扰势为V，一维定态薛定谔方程： 利用布洛赫定理按微扰势展开求解该方程。可得出如下重要结论： 每个电子运动的波矢不同，若k不等于nπ/a，则能量E为 ,与自由电子相同。 2. k=nπ/a时，能量发生不连续突变。 禁带的物理意义：在k=±nπ/a时，由于周期性势场的影响，当总能量为E0-|Vn|的能级被电子占有后，再增加一个电子，只能占据E0+|Vn|能级，而在