北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习（一）数学理试题..doc

北京市东城区普通高中示范校2013届高三综合练习（一）数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集,集合,则为 A． B． C． D． 2．是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，则下列各式正确的是 A． B． C． D． 4．在等差数列中，，且，则的最大值是 A． B． C． D． 5．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为 A． B．C． D． 6．下列命题中，真命题是 A． B． C． D． 7．已知、为双曲线C:的左、右焦点，点在上，∠=，则到轴的距离为 A． B． C． D． 8．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知则___________. 10．函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是 11．由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 . 12．正三角形边长为2，设，，则_____________. 13．已知命题：是奇函数；。下列函数： ①，②，③中 能使都成立的是 .（写出符合要求的所有函数的序号）. 14． 集合， 集合,，设集合是所有的并集，则的面积为________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象？ ? 16．（本小题满分13分） 已知数列的前项和为,数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. ? ?? 17．（本小题满分14分） 如图，在三棱锥中，侧面与底面垂直， 分别是的中点，，，. （1）求证：//平面； （2）若点在线段上，问：无论在的何处，是否都有？请证明你的结论； （3）求二面角的平面角的余弦值. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 18. （本小题满分13分） 椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点。的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为. （1）求椭圆的方程； （2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且。若直线的斜率之和为0，求证：为定值. ? ?? 19. （本小题满分13分） 已知函数（）. （1）求函数的单调区间； （2）对,不等式恒成立，求的取值范围． ? ? ? 20．（本小题满分14分） 将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中都是实数。定义映射的模为：在的条件下的最大值，记做.若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值. （1）若，求； （2）如果，计算的特征值，并求相应的； （3）若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②,并验证满足这两个条件.?北京市东城区普通高中示范校2013届高三综合练习（一）数学试卷（理科）? 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C C B D B D 9. 1 10. 11. 12. 13. ①② 14. 15.解：(1) = = = …………………6分 最小正周期 单调递增区间 ， ………………9分 (2) 向左平移个单位；向下平移个单位 ………………13分 16．解（1） ………………4分 ++3 ， ++3， 两式作差：3-=2 ………………………10分 (2) = …………………………13分 17